Question

在中，对角线为BD延长线上一点且为等边三角形，、的平分线相交于点，连接，连接。

（1）若的面积为，求的长；
（2）求证：。

Answer 1

（1）AG＝6　　（2）要证明，则可通过证明即可。

试题分析：（1）解∵四边形ABCD为平行四边形，所以AD∥BC。∵BC⊥DB，∴AD⊥BD。
∵△AGB为等边三角形，∴AG=AB=BG=8.所以DG=DB=BG=4（三线合一定理）
在Rt△ADB中，S△ADB=AD×BD=。设BD=x，则AD=x。则
所以AG=6
（2）证明：因为△ABG为等边三角形，所以∠GBA=∠GAB=∠ABG=60°。
∵BD⊥AD。所以∠BAD=30°。因为EA是∠BAD角平分线，∠CBD=90°。
∴∠BAE =∠DAE=15°。因为BE为∠CBD平分线，∠CBD=90°，
所以∠EBD=45°。∠EBA=45°+60°=105°。
则∠BEA=180°-105°-15°=60°。所以∠BEA=∠FBA，∠BFE=∠GFC，
∴△AFB∽△ABE
∴∵∠GAE=60°-15°=45°=∠EBF，∠BFE=∠GFA，
∴△BFE∽△AFG，∴
∵∠EFG=∠BFA，∴△EFG∽△BFA
∴∠GEF=∠ABF=60°。而∠BGA=60°。所以△AGF∽△CEG
∴所以
因为△BAG为等边三角形，所以BA=AG=BG=BF+FG
所以所以AE=BE+GE
点评：本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定等知识点的综合运用，本题综合性比较强，难度偏大．