Question

9．如图，有一组平行线l₁∥l₂∥l₃∥l₄，正方形ABCD的四个顶点A，B，C，D分别在l₁，l₂，l₃，l₄上，过点D作DE⊥l₁于点E，已知相邻两条平行线之间的距离为1，求AE及正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析 过点B作BF⊥⊥l₁，垂足为点F，由正方形的性质可得出∠BAD=90°，AB=AD，再由垂直可得出∠BFA=∠AED=90°，通过角的计算得出∠EAD=∠FBA，由此即可证出△FAB≌△EDA（AAS），根据全等三角形的性质以及勾股定理即可求出AE、AD的长度．

解答 解：过点B作BF⊥⊥l₁，垂足为点F，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD．
∵BF⊥l₁，DE⊥l₁，
∴∠FAB+∠EAD=90°，∠FAB+∠FBA=90°，∠BFA=∠AED=90°．
∴∠EAD=∠FBA．
在△FAB和△EDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠AED}\\{∠EAD=∠FBA}\\{BA=AD}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△EDA（AAS），
∴AE=BF=1．
∵ED=2，
∴AD=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、平行线间的距离以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据全等三角形的性质找出AE=BF=1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，构建全等三角形，根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．