Question

5．如图，矩形OABC中，OA=10，OC=5，将其沿对角线OB对折，点C落到点C′处，以点O为坐标原点，OA、OC所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、C、C′的坐标；
（2）求过A、C、C′三点的抛物线y=ax²+bx+c的解析式．
（3）点M是抛物线上C′A段上的一个动点，横坐标为m，过点M作MD⊥x轴交对角线OB于点D，顺次连接C′、M、A、D四点，试判断：当C′D+AD的值最小时，四边形C′MAD的面积S的值是否最大？若是，求出此时m的值；若不是，分别求出：当C′D+AD的值最小时和四边形C′MAD的面积S的值最大时m的值．

Answer 1

分析 （1）求出直线OB、CC′的解析式，构建方程组求出交点K的坐标，再利用中点坐标公式，求出点C′的坐标．
（2）把A、C、C′三点坐标代入的抛物线y=ax²+bx+c的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{100a+10b+c=0}\\{16a+4b+c=-3}\end{array}\right.$，解方程组即可解决问题．
（3）不是．①如图2中，连接AC交OB于D，连接DC′．此时DC′+AD最小，求出点D坐标即可．
②如图3中，设OA交BC′于G，DN交AC′于N．首先证明AC∥OB，推出△ADC′的面积为定值，所以△AC′M的面积最大时，四边形C′MAD的面积S的值最大，构建二次函数，即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵OA=10，OC=5，四边形ABCD是矩形，
∴OA=BC=10，AB=OC=5，
∴A（10，0），C（0，5），B（10，5），
∴直线OB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∵C、C′关于OB对称，设CC′交OB于K，
∴CC′⊥OB，
∴直线CC′的解析式为y=-2x+5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=-2x+5}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴K（2，1），
∵K是C、C′中点，
∴C′（4，-3）．
∴A（10，0），C（0，5），C′（4，-3）．

（2）把A、C、C′三点坐标代入的抛物线y=ax²+bx+c的解析式得$\left\{\begin{array}{l}{c=5}\\{100a+10b+c=0}\\{16a+4b+c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-3}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-3x+5．

（3）不是．
①如图2中，连接AC交OB于D，连接DC′．此时DC′+AD最小，

∵OD=DB，
∴D（5，$\frac{5}{2}$），
∵DM⊥x轴，
∴D、M的横坐标相同，
∴m=5．

②如图3中，设OA交BC′于G，DN交AC′于N．

∵△OBC′是由△OBC翻折得到，
∴∠CBO=∠OBC′，
∵BC∥OA，
∴∠CBO=∠BOA=∠OBC′，
∴OG=BG，
∵OA=BC=BC′，
∴AG=GC′，
∴∠GAC′=∠GC′A，
∵∠OGB=∠AGC′，
∴∠BOA=∠OAC′，
∴BO∥AC′，
∴△ADC′的面积不变，
∴△AC′M的面积最大时，四边形C′MAD的面积S的值最大，
∵直线AC′的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-5，
∵M（m，$\frac{1}{4}$m²-3m+5），
∴N（m，$\frac{1}{2}$m-5），
∴S_△AC′M=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{2}$m-5-$\frac{1}{4}$m²+3m-5）•6=-$\frac{3}{4}$（m-7）²+$\frac{27}{4}$，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴m=7时，△AC′M的面积最大值．
∴m=7时，四边形C′MAD的面积S的值最大．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积、一次函数的应用等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会构建一次函数，利用方程组求交点坐标，学会构建二次函数利用二次函数的性质解决问题，属于中考压轴题．