Question

【题目】如图，在中，AB=AC，AD是BC边的中线，以AC为边作等边△ACE，BE与AD相交于点P，点F在BE上，且PF=PA，连接AF下列四个结论：①AD⊥BC；②∠ABE=∠AEB；③∠APE=60°；④△AEF≌△ABP，其中正确结论的个数是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，可对①进行判断；由AB=AC，△ACE是等边三角形可得AB=AE，根据等腰三角形的性质可得∠ABE=∠AEB，可对②进行判断；由三角形内角和定理可得∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即可求出∠BAD+∠ABE=60°，根据外角性质可得∠APE=∠BAD+∠ABE=60°，可对③进行判断；由AP=PF，∠APE=60°可得△APF是等边三角形，可得∠APB=∠AFE=120°，利用AAS即可证明△AEF≌△ABP，可对④进行判断；综上即可得答案.

∵AB=AC，AD是BC边中线，

∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，故①正确，

∵△ACE是等边三角形，

∴AC=AE，∠CAE=60°，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，故②正确，

∵∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°，

∴∠ABE+∠AEB+∠BAD+∠CAD+∠CAE=180°，即2(∠BAD+∠ABE)+60°=180°，

∴∠ABE+∠BAD=60°，

∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，故③正确，

∵AP=PF，∠APE=60°，

∴△APF是等边三角形，

∴∠APF=∠AFP=60°，

∴∠APB=∠AFE=120°，

在△AEF和△ABP中，，

∴△AEF≌△ABP，故④正确，

综上所述：正确的结论有①②③④，共4个，

故选：D.