Question

3．如图，在△ABC中，∠BAC=106°，MP，NQ分别垂直平分AB，AC．
（1）当AB=AC时，∠1的度数为32°．
（2）若AB≠AC，请问（1）中的结论还成立吗？请通过计算说明．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=74°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=74°，便不难求出∠1的度数为32°；
（2）根据三角形内角和等于180°求出∠ABP+∠ACQ=74°，再根据线段垂直平分线的性质∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，所以∠PAB+∠QAC=74°，便不难求出∠1的度数为32°．

解答 解：（1）∵∠BAC=106°，
∴∠ABP+∠ACQ=180°-105°=74°，
∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PB=PA，QC=QA．
∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，
∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=74°，
∴∠1=106°-74°=32°；
故答案为：32°；

（2）成立，
理由：∵∠BAC=106°，
∴∠ABP+∠ACQ=180°-105°=74°，
∵MP、NQ分别垂直平分AB和AC，
∴PB=PA，QC=QA．
∴∠PAB=∠ABP，∠QAC=∠ACQ，
∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACQ=74°，
∴∠1=106°-74°=32°．

点评 此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．