Question

23、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；
（2）过O作OF⊥AB，则OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）²+（6-x）²=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．

解答：解：（1）证明：连接OC．
∵点C在⊙O上，OA=OC，∴∠OCA=∠OAC．
∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，则∠CAD+∠DCA=90°．
∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO．
∴∠DCO=∠DCA+∠ACD=∠DCA+CAO=∠DCA+∠DAC=90°．
又∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线．

（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，
∴OC=FD，OF=CD．
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得AF²+OF²=OA²．
即（5-x）²+（6-x）²=25，
化简得x²-11x+18=0，
解得x=2或x=9．
由AD＜DF，知0＜x＜5，故x=2，
从而AD=2，AF=5-2=3，
∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6．

点评：本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．