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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D,点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交抛物线于P,Q两点(点P在第三象限)

(1)求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式;

(2)当△CDE是直角三角形,且∠CDE=90° 时,求出点P的坐标;

(3)当△PBC的面积为时,求点E的坐标.

【答案】(1)y=x2-2x-3;直线BC的函数表达式为y=x-3;(2)P的坐标为(1-,-2);(3)E的坐标为(0,-).

【解析】

试题分析:(1)用对称轴公式即可得出b的值,再利用抛物线与y轴交于点C(0,-3),求出抛物线解析式即可;由抛物线的解析式可求出B的坐标,进而可求出线BC的函数表达式;

(2)当∠CDE=90°时,则CE为斜边,则DG2=CGGE,即1=(OC-OG)(2-a),求出a的值,进而得出P点坐标;

(3)当△PBC的面积为时,过P作PK∥x 轴,交直线BC于点K,设P(m,n),则n=m2-2m-3,由已知条件可得:S△PBC=S△PKC+S△PKB=,进而可求出P的坐标,又因为点P在CE垂直平分线上,所以E的坐标可求出.

试题解析:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,

∴-=1,

∴b=-2

∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),

∴c=-3,

∴抛物线的函数表达式为:y=x2-2x-3;

∵抛物线与x轴交于A、B两点,

当y=0时,x2-2x-3=0.

∴x1=-1,x2=3.

∵A点在B点左侧,

∴A(-1,0),B(3,0)

设过点B(3,0)、C(0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,

∴直线BC的函数表达式为y=x-3;

(2)∵Rt△CDE中∠CDE=90°,直线BC的解析式为y=x-3,

∴∠OCB=45°,

∵点D在对称轴x=1与直线y=x-3交点上,

∴D坐标为(1,-2

Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标(0,-1),

∵点P在CE垂直平分线上,

∴点P纵坐标为-2,

∵点P在y=x2-2x-3上,

∴x2-2x-3=-2,

解得:x=1±

∵P在第三象限,

∴P的坐标为(1-,-2);

(3)过P作PK∥x轴,交直线BC于点K,设P(m,n),则n=m2-2m-3

∵直线BC的解析式为y=x-3,

∴K的坐标为(n+3,n),

∴PK=n+3-m=m2-3m,

∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=

×3KP=

∴m2-3m=

解得:m=-

∵P在第三象限,

∴P的坐标为(-,-

∵点P在CE垂直平分线上,

∴E的坐标为(0,-

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