【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D,点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交抛物线于P,Q两点(点P在第三象限)
(1)求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式;
(2)当△CDE是直角三角形,且∠CDE=90° 时,求出点P的坐标;
(3)当△PBC的面积为时,求点E的坐标.
【答案】(1)y=x2-2x-3;直线BC的函数表达式为y=x-3;(2)P的坐标为(1-,-2);(3)E的坐标为(0,-).
【解析】
试题分析:(1)用对称轴公式即可得出b的值,再利用抛物线与y轴交于点C(0,-3),求出抛物线解析式即可;由抛物线的解析式可求出B的坐标,进而可求出线BC的函数表达式;
(2)当∠CDE=90°时,则CE为斜边,则DG2=CGGE,即1=(OC-OG)(2-a),求出a的值,进而得出P点坐标;
(3)当△PBC的面积为时,过P作PK∥x 轴,交直线BC于点K,设P(m,n),则n=m2-2m-3,由已知条件可得:S△PBC=S△PKC+S△PKB=,进而可求出P的坐标,又因为点P在CE垂直平分线上,所以E的坐标可求出.
试题解析:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴-=1,
∴b=-2
∵抛物线与y轴交于点C(0,-3),
∴c=-3,
∴抛物线的函数表达式为:y=x2-2x-3;
∵抛物线与x轴交于A、B两点,
当y=0时,x2-2x-3=0.
∴x1=-1,x2=3.
∵A点在B点左侧,
∴A(-1,0),B(3,0)
设过点B(3,0)、C(0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m,
则,
∴
∴直线BC的函数表达式为y=x-3;
(2)∵Rt△CDE中∠CDE=90°,直线BC的解析式为y=x-3,
∴∠OCB=45°,
∵点D在对称轴x=1与直线y=x-3交点上,
∴D坐标为(1,-2 )
Rt△CDE为等腰直角三角形易得E的坐标(0,-1),
∵点P在CE垂直平分线上,
∴点P纵坐标为-2,
∵点P在y=x2-2x-3上,
∴x2-2x-3=-2,
解得:x=1±,
∵P在第三象限,
∴P的坐标为(1-,-2);
(3)过P作PK∥x轴,交直线BC于点K,设P(m,n),则n=m2-2m-3
∵直线BC的解析式为y=x-3,
∴K的坐标为(n+3,n),
∴PK=n+3-m=m2-3m,
∵S△PBC=S△PKC+S△PKB=,
∴×3KP=
∴m2-3m=,
解得:m=-或,
∵P在第三象限,
∴P的坐标为(-,-)
∵点P在CE垂直平分线上,
∴E的坐标为(0,-)
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【题目】某地原有沙漠108公顷,绿洲54公顷,为改善生态环境,防止沙化现象,当地政府实施了沙漠变绿洲”工程,要把部分沙漠改造为绿洲,使绿洲面积占沙漠面积的80%.设把x公顷沙漠改造为绿洲,则可列方程为( )
A.54+x=80%×108
B.54+x=80%(108-x)
C.54-x=80%(108+x)
D.108-x=80%(54+x)
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【题目】已知,如图,在Rt△ABC中,∠ACB=900,AD平分∠CAB交BC于点D,过点C作CE⊥AD,垂足为E,CE的延长线交AB于点F,过点E作EG∥BC交AB于点G, , ,求:(1)AC的长(2)EG的长.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0没有实数根,有下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.其中,正确结论的个数是
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【题目】已知:如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=5cm,BC=7cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.
(1)若P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后△PBQ的面积等于4cm2?
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,那么几秒后,PQ的长度等于5cm?
(3)在(1)中,△PBQ的面积能否等于7cm2? 请说明理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:① abc>0;② 2a+b=0;③ 当m≠1时,a+b>am2+bm;④ a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,x1+x2=2,
其中正确的有( )
A. ①②③ B. ②④ C. ②⑤ D. ②③⑤
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