Question

如图，线段MN是△ABC的中位线，CD、CE分别平分△ABC的内角∠ACB和外角∠ACF，CD、CE分别交直线MN于点D、E．
（1）判断四边形ADCE的形状，并说明理由；
（2）当四边形ADCE是正方形时，△ABC应满足什么条件？为什么？
（3）在（2）的条件下，已知AC=BC=10，求正方形ADCE的面积．

Answer 1

考点：矩形的判定,三角形中位线定理,正方形的性质

专题：

分析：（1）先由平行线的性质及角平分线的定义得出∠NDC=∠NCD，根据等角对等边得到NC=ND，同理得出NC=NE，则ND=DE，结合AN=NC，得到四边形ADCE是平行四边形，再证明∠DCE=90°，那么平行四边形ADCE是矩形；
（2）当四边形ADCE是正方形时，△ABC是直角三角形．可以由正方形的性质及平行线的性质得出∠BCA=90°，即△ABC是直角三角形；
（3）先证明△ABC是等腰直角三角形，得出D与M重合，ME=AC=10，再根据正方形ADCE的面积=

1

2

AC²即可求解．

解答：解：（1）四边形ADCE是矩形，理由如下：
∵线段MN是△ABC的中位线，
∴MN∥BC，AN=NC，
∴∠NDC=∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠NCD，
∴∠NDC=∠NCD，
∴NC=ND，
同理，NC=NE，
∴ND=DE，
∵AN=NC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵CD、CE分别平分△ABC的内角∠ACB和外角∠ACF，
∴∠NCD=

1

2

∠ACB，∠NCE=

1

2

∠ACF，
∴∠NCD+∠NCE=

1

2

∠ACB+

1

2

∠ACF=

1

2

（∠ACB+∠ACF）=

1

2

×180°=90°，
即∠DCE=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形；

（2）当四边形ADCE是正方形时，△ABC是直角三角形．理由如下：
∵四边形ADCE是正方形，
∴AC⊥DE，故∠AND=90°，
∵MN∥BC，
∴∠BCA=∠AND，
∴∠BCA=90°，
∴△ABC是直角三角形；

（3）∵∠ACB=90°，AC=BC=10，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴D与M重合，ME=AC=10，
∴正方形ADCE的面积=

1

2

AC²=

1

2

×10²=50．

点评：本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，矩形的判定，正方形的性质等知识，综合性较强，难度适中．