Question

【题目】如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点P为BC的中点，连接EP，AD．

(1)求证：PE是⊙O的切线；

(2)若⊙O的半径为3，∠B=30°，求P点到直线AD的距离．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

（1）连接FO，由P为BC的中点，AO=CO，得到OP∥AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OP∥AB，得出OP⊥CE，于是得到OP所在直线垂直平分CE，推出PC=PE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）设P点到直线AD的距离为d，记△PAD的面积S△PAD，根据三角形的面积得到d= ①由勾股定理得BC=6，根据平行线的性质得到∠OPC=∠B=30°，推出△OEA为等边三角形，得到∠EOA=60°，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD==3 ，将以上数据代入①得即可得到结论．

(1)证明：连接CE，如图所示：

∵AC为⊙O的直径，

∴∠AEC=90°．

∴∠BEC=90°．

∵点F为BC的中点，

∴EF=BF=CF．

∴∠FEC=∠FCE．

∵OE=OC，

∴∠OEC=∠OCE．

∵∠FCE+∠OCE=∠ACB=90°，

∴∠FEC+∠OEC=∠OEF=90°．

∴EF是⊙O的切线；

(2)解：设P点到直线AD的距离为d，记△PAD的面积S△PAD，

则有：S△PAD=ADd=PDAC，

∴d=①

∵⊙O的半径为3，∠B=30°，

∴∠BAC=60°，AC=6，AB=12，

由勾股定理得BC=6，

∴PC=3

∵O，P分别是AC，BC的中点，

∴OP∥AB，

∴∠OPC=∠B=30°，

∵OE=OA，∠OAE=60°，

∴△OEA为等边三角形，

∴∠EOA=60°，

∴∠ODC=90°﹣∠COD=90°﹣∠EOA=30°，

∴∠ODC=∠OPC=30°，

∴OP=OD，

∵OC⊥PD，

∴CD=PC=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD==3，

将以上数据代入①得：d===．