Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴交于A，B两点，AC是⊙M的直径，过点C的直线交x轴于点D，连接BC，已知点M的坐标为，直线CD的函数解析式为y=-x+5．
（1）求点D的坐标和BC的长；
（2）求点C的坐标和⊙M的半径；
（3）求证：CD是⊙M的切线．

Answer 1

【答案】分析：（1）因为点M的坐标为，直线CD的函数解析式为y=-x+5，D在x轴上，可求出OM=，D（5，0），又因过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，利用垂径定理可得OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，利用三角形的中位线可得OM=BC，BC=2；
（2）因为BC=2，所以可设C（x，2），利用直线CD的函数解析式为y=-x+5．可得到y=-x+5=2，即求出C（3，2），利用勾股定理可得AC==，即⊙M的半径为2；
（3）求出BD=5-3=2，BC=，CD==4，AC=4，AD=8，CD=4，，可得△ACD∽△CBD，
所以∠CBD=∠ACD=90°，CD是⊙M的切线．
解答：（1）解：∵点M的坐标为，直线CD的函数解析式为y=-x+5，D在x轴上，
∴OM=，D（5，0）；
∵过圆心M的直径⊥AB，AC是直径，
∴OA=OB，AM=MC，∠ABC=90°，
∴OM=BC，
∴BC=2．

（2）解：∵BC=2，
∴设C（x，2）；
∵直线CD的函数解析式为y=-x+5，
∴y=-x+5=2，
∴x=3，即C（3，2），
∵CB⊥x轴，OB=3，
∴AO=3，AB=6，AC==，
即⊙M的半径为2．

（3）证明：∵BD=5-3=2，BC=，CD==4，
AC=4，AD=8，CD=4，
∴，
∴△ACD∽△CBD，
∴∠CBD=∠ACD=90°；
∵AC是直径，
∴CD是⊙M的切线．
点评：解决本题需用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．