Question

17．如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B．
求证：（1）$\frac{BE}{CD}$=$\frac{DE}{DF}$；
（2）△BDE∽△DFE．

Answer 1

分析 （1）先根据AB=AC得出∠B=∠C，再由∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BDE+∠EDF+∠FCD=180°，∠EDF=∠B可得出∠BED=∠FDC，故可得出△BDE∽△CFD，由此可得出结论；
（2）根据D是BC中点可得出BD=CD，故可得出$\frac{BE}{BD}$=$\frac{DE}{DF}$，再由∠EDF=∠B即可得出结论．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠B+∠BDE+∠BED=180°，∠BDE+∠EDF+∠FCD=180°，∠EDF=∠B，
∴∠BED=∠FDC，
∴△BDE∽△CFD，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{DE}{DF}$；

（2）证明：∵D是BC中点，
∴BD=CD．
∵$\frac{BE}{CD}$=$\frac{DE}{DF}$，
∴$\frac{BE}{BD}$=$\frac{DE}{DF}$．
∵∠EDF=∠B，
∴△BDE∽△DFE．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．