Question

（2013•本溪一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），C（3，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，动点D从点O开始沿OB向终点B以每秒1个单位长度的速度运动，动点E从点O开始沿OC向终点C以每秒2个单位长度的速度运动，过点E作GE⊥OC，交CB于点F，交抛物线y=ax²+bx+3于点G，连接BG，DF，点D，E从点O同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒（t≥0），在运动过程中，若四边形BDFG为正方形，求t的值；
（3）将（2）中的正方形BDFG沿y轴翻折180°，得到正方形BDF′G′，然后将正方形BDF′G′沿直线BC方向向下平移，设在平移过程中正方形BDF′G′与△BOC重合部分的面积为S，平移的距离为m（0≤m≤3

2

），请直接写出S与m之间的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）方法一：令x=0求出点B的坐标，然后表示出点D的坐标，从而得到BD的长度，再求出直线BC的解析式，并求出点E的坐标，然后根据抛物线解析式与直线解析式求出GF，根据平行四边形对边平行且相等可得BD=GF，列出方程求出t的值，再进行验证即可得解；
方法二：令x=0求出点B的坐标，然后表示出点D的坐标，从而得到BD的长度，再求出直线BC的解析式，并求出点E的坐标，然后表示出点F的坐标，再根据正方形的邻边垂直且相等表示出DF，并根据BD=DF列出方程求出t值，再求出F、G的坐标，然后进行判定即可；
（3）分①DF′在x轴上方时，表示出重叠部分矩形的宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解；②DF在x轴下方，F′G′在y轴左边时，重叠部分等于△BOC的面积减去两个等腰直角三角形的面积，列式整理即可得解；③DF′在x轴下方，F′G′在y轴右边时，表示出重叠部分矩形的宽，再根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3（a≠0）经过A（-1，0），C（3，0）两点，
∴

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

，
所以，抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）方法一：令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
由题意得，点D的坐标为（0，t），
BD=3-t，
∵C（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵点E的坐标为（2t，0），
∴GF=-（2t）²+4t+3-（-2t+3）=-4t²+6t，
当BD=GF时，由于BD∥GF，四边形BDFG是平行四边形，
∴-4t²+6t=3-t，
整理得，4t²-7t+3=0，
解得t₁=1，t₂=

3

4

，
当t=1时，点D的坐标为（0，1），点F的坐标为（2，1），
点B的坐标为（0，3），
此时BD=BF，∠FDB=90°，
∴四边形BDFG是正方形；
当t=

3

4

时，点D的坐标为（0，

9

4

），点F的坐标为（

3

2

，

3

2

），∠FDB≠90°，
∴四边形BDFG不是正方形，
故，当t=1时，四边形BDFG是正方形；

方法二：令x=0，则y=3，
∴点B的坐标为（0，3），
由题意得，点D的坐标为（0，t），
BD=3-t，
∵C（3，0），
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∵点E的坐标为（2t，0），
∴点F的坐标为（2t，-2t+3），
若四边形BDFG是正方形，则DF⊥BD，DF=BF，
∴-2t+3=t，
解得t=1，
此时，点F的坐标为（2，1），点G的坐标为（2，3），
∴BD=FG=DF=BG=2，
∴四边形BDFG是正方形；

（3）∵B（0，3），C（3，0），
∴OB=OC，
∴△BOC是等腰直角三角形，
如图所示，①DF′在x轴上方时，0≤m＜

2

，重叠部分矩形的宽=

2

2

m，
面积=2×

2

2

m=

2

m，
②DF在x轴下方，F′G′在y轴左边时，

2

≤m＜2

2

，
重叠部分的面积=

1

2

×3×3-

1

2

×

2 m

2

×

2 m

2

-

1

2

×

2 (3 2 -m)

2

×

2 (3 2 -m)

2

，
=-

1

2

m²+

3 2

2

m，
③DF′在x轴下方，F′G′在y轴右边时，2

2

≤m≤3

2

，重叠部分矩形的宽=

2

2

（3

2

-m），
面积=

2

2

（3

2

-m）×2=-

2

m+6，
综上所述，S=

2 m(0≤m＜ 2 ) - 1 2 m2+ 3 2 2 m( 2 ≤m＜2 2 ) - 2 m+6(2 2 ≤m≤3 2 )

．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质，阴影部分面积的表示方法，难点在于（3）要根据移动的距离的变化以及阴影部分的不同表示方法分情况讨论．