Question

18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的切线垂直，垂足为D，AD交⊙O于E，DE=2，CD=4．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）延长AB，DC交于点F，OH⊥AC于H，若∠F=2∠ABH，求⊙O的半径R的长及BH的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥DF，根据平行线的性质得到∠DAC=∠ACO，根据等腰三角形的性质得到∠ACO=∠CAO，等量代换得到∠DAC=∠CAO，于是得到结论；
（2）由CD是⊙O的切线，得到CD²=AD•DE，得到AD=8，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，根据垂径定理得到CH=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，推出△HCB是等腰直角三角形，即可得到结论．

解答 解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥DF，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，
∴AC平分∠BAD；

（2）∵CD是⊙O的切线，
∴CD²=AD•DE，
∵DE=2，CD=4，
∴AD=8，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∵OH⊥AC，
∴CH=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{5}$，∵∠CAO=$\frac{1}{2}∠$COB，∠ABH=$\frac{1}{2}∠$F，
∵∠COB+∠F=90°，
∴∠CHB=∠CAB+∠HBA=$\frac{1}{2}$（∠COB+∠ABH）=45°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠HCB=90°，
∴△HCB是等腰直角三角形，
∴BH=BC=$\sqrt{2}$CH=2$\sqrt{10}$，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=2$\sqrt{30}$，
∴⊙O的半径R=$\sqrt{30}$．

点评 本题考查了切线的性质，勾股定理，垂径定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．