Question

（本小题满分15分）如图1，抛物线经过点A和点B.已知点A的坐标是（2，4），点B的横坐标是－2.

（1）求的值及点B的坐标； 
（2）设点D为线段AB上的一个动点，过D作x轴的垂线,垂足为点H.在DH的右侧作等边△DHG. 将过抛物线顶点Ｍ的直线记为，设与x轴交于点N.
① 如图1，当动点D的坐标为(1，2)时，若直线过△DHG的顶点G.求此时点N的横坐标是多少？
② 若直线与△DHG的边DG相交，试求点N横坐标的取值范围.

Answer 1

（1）∵点A（2，4）在抛物线上，


∴代入得="1                        "         ……………………………1分
于是抛物线的解析式为
又∵点B的横坐标为－2，代入得 ∴ B(－2,－4)    ………………2分
（2）①由题意M(1，5)，D(1，2)，且DH⊥x轴，
∴点M在DH上，MH="5."
过点G作GE⊥DH，垂足为E.
∵△DHG是正三角形，可得EG=, EH=1，
∴ME＝4.                   
设N ( x，0 )，则NH＝x－1,
由△MEG∽△MHN，得.                      ………………5分
∴, 解得
∴点N的横坐标为．                       ……………………6分
②如右图，当点D运动至与点A重合时，直线与DG交于点G，此时点N的横坐标最大．
过点G，M作x轴的垂线，垂足分别为点Q，F.设N（x，0）
∵ A (2, 4)，∴G (, 2)
∴ NQ=，NF =，GQ=2，MF =5.
由题意，
△NGQ∽△NMF，
∴.                                     ……………………9分
∴.
∴.                                   ……………………10分
如右图，当点D运动至与点B重合时，直线与DG交于点D（即点B）此时点N的横坐标最小. ∵B(－2, －4) ，∴ H(－2, 0)，D(－2, －4).设N（x，0）.由题意△BHN∽△MFN，
∴.                       ……………………13分
∴   ∴       ……………………14分
综上，点N的横坐标取值范围是≤x≤ ……15分

解析