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    （2012•青海）如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．
    （1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：
    证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．
    ∵∠AEF=90°
    ∴∠FEC+∠AEB=90°
    又∵∠EAM+∠AEB=90°
    ∴∠EAM=∠FEC
    ∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点
    ∴AM=EC
    又可知△BME是等腰直角三角形
    ∴∠AME=135°
    又∵CF是正方形外角的平分线
    ∴∠ECF=135°
    ∴△AEM≌△EFC（ASA）
    ∴AE=EF
    （2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．
    （3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．
    分析：（2）在AB上截取AM=EC，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；
    （3）延长BA到M，使AM=CE，然后证明∠BME=45°，从而得到∠BME=∠ECF，再利用两直线平行，内错角相等证明∠DAE=∠BEA，然后得到∠MAE=∠CEF，再利用“角边角”证明△MAE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
    解答：（2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，
    由（1）知∠EAM=∠FEC，
    ∵AM=EC，AB=BC，
    ∴BM=BE，
    ∴∠BME=45°，
    ∴∠AME=∠ECF=135°，
    ∵∠AEF=90°，
    ∴∠FEC+∠AEB=90°，
    又∵∠EAM+∠AEB=90°，
    ∴∠EAM=∠FEC，
    在△AEM和△EFC中，
    ∠AME=∠FCE
    AM=EC
    ∠BAE=∠FEC
    ，
    ∴△AEM≌△EFC（ASA），
    ∴AE=EF；

    （3）探究3：成立，
    证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，
    ∴BM=BE，
    ∴∠BME=45°，
    ∴∠BME=∠ECF=45°，
    又∵AD∥BE，
    ∴∠DAE=∠BEA，
    又∵∠MAD=∠AEF=90°，
    ∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，
    即∠MAE=∠CEF，
    在△MAE和△CEF中，
    ∠BME=∠ECF
    AM=CE
    ∠MAE=∠CEF
    ，
    ∴△MAE≌△CEF（ASA），
    ∴AE=EF．
    点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出△AEM与△EFC全等是解题的关键．
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