【题目】已知二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A(﹣1,0),B(n,0)两点,一次函数y2=2x+b的图象过点A.
(1)若a=.
①若二次函数y1=ax2+bx+c(a>0)与y轴交于点C,求△ABC的面积;
②设y3=y1﹣my2,是否存在正整数m,当x≥0时,y3随x的增大而增大?若存在,求出正整数m的值;若不存在,请说明理由.
(2)若<a<,求证:﹣5<n<﹣4.
【答案】(1)①;②存在,m=1;(2)见解析
【解析】
(1)①将点A坐标代入解析式可求b=2,c=2﹣a,即可求抛物线解析式,可求点C,点B坐标,由三角形的面积公式可求解;
②由y3=x2+2x+﹣m(2x+2)=x2+(2﹣2m)x+(﹣2m),由二次函数的性质可求m≤1,即可求解;
(2)y1=ax2+2x+(2﹣a)的对称轴为x=﹣=﹣,由<a<,可得﹣3<﹣<﹣,又A(﹣1,0)、B(n,0)两点关于对称轴对称,则|﹣1﹣(﹣)|=|﹣﹣n|,即可求解.
解:(1)①∵y1=ax2+bx+c(a>0)过点A,
∴a﹣b+c=0,
∵y2=2x+b的图象过点A,
∴b=2,
∴c=2﹣a;
∵a=,
∴c=2﹣,
∴y1=x2+2x+,
∵二次函数y1=x2+2x+与y轴交于点C,与x轴交于A(﹣1,0),B(n,0)两点,
∴点C(0,),点B(﹣3,0),
∴AB=2,
∴△ABC的面积=×2×;
②y3=x2+2x+﹣m(2x+2)=x2+(2﹣2m)x+(﹣2m),
∵在x≥0时,y3随x的增大而增大,
∴对称轴x=﹣=2m﹣2≤0,
∴m≤1,
∵m是正整数,
∴m=1;
(2)∵y1=ax2+2x+(2﹣a)的对称轴为x=﹣=﹣,
又∵<a<,
∴﹣3<﹣<﹣,
又∵A(﹣1,0)、B(n,0)两点关于对称轴对称,
∴|﹣1﹣(﹣)|=|﹣﹣n|,
∴n=﹣+1或n=﹣1(舍去),
∴﹣5<n<﹣4.
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【题目】如图,已知抛物线的对称轴为直线,且抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,其中,.
(1)若直线经过、两点,求直线和抛物线的解析式;
(2)在抛物线的对称轴上找一点,使点到点的距离与到点的距离之和最小,求出点的坐标;
(3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点,求使为直角三角形的点的坐标.
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【题目】一段路的“拥堵延时指数”计算公式为:拥堵延时指数=,指数越大,道路越堵。高德大数据显示第二季度重庆拥堵延时指数首次排全国榜首。为此,交管部门在A、B两拥堵路段进行调研:A路段平峰时汽车通行平均时速为45千米/时,B路段平峰时汽车通行平均时速为50千米/时,平峰时A路段通行时间是B路段通行时间的倍,且A路段比B路段长1千米.
(1)分别求平峰时A、B两路段的通行时间;
(2)第二季度大数据显示:在高峰时,A路段的拥堵延时指数为2,每分钟有150辆汽车进入该路段;B路段的拥堵延时指数为1.8,每分钟有125辆汽车进入该路段。第三季度,交管部门采用了智能红绿灯和潮汐车道的方式整治,拥堵状况有明显改善,在高峰时,A路段拥堵延时指数下降了a%,每分钟进入该路段的车辆增加了;B路段拥堵延时指数下降,每分钟进入该路段的车辆增加了a辆。这样,整治后每分钟分别进入两路段的车辆通过这两路段所用时间总和,比整治前每分钟分别进入这两段路的车辆通过这两路段所用时间总和多小时,求a的值.
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【题目】如图所示,四边形是边长为的正方形,长方形的宽,长.将长方形绕点顺时针旋转15°得到长方形(如图所示),这时与相交于点.则在图中,,两点间的距离是( )
A.B.5C.D.7
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【题目】已知点A(﹣3,y1),B(2,y2)均在抛物线y=ax2+bx+c上,点P(m,n)是该抛物线的顶点,若y1>y2≥n,则m的取值范围是( )
A.﹣3<m<2B.﹣<m<-C.m>﹣D.m>2
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【题目】如图,已知点E、F在四边形ABCD的对角线延长线上,AE=CF,DE∥BF,∠1=∠2.
(1)求证:△AED≌△CFB;
(2)若AD⊥CD,四边形ABCD是什么特殊四边形?请说明理由.
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【题目】某工厂设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销,经过调查,得到如下数据:
销售单价(元/件) | … | 30 | 40 | 50 | 60 | … |
每天销售量(件) | … | 500 | 400 | 300 | 200 | … |
(1)研究发现,每天销售量与单价满足一次函数关系,求出与的关系式;
(2)当地物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过45元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元?
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【题目】请阅读以下材料,并完成相应任务:
斐波那契(约1170-1250)是意大利数学家.1202年,撰写了《算盘书》一书,他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人,他还曾在埃及、叙利亚、希腊,以及意大利西西里和法国普罗旺斯等地研究数学.他研究了一列非常奇妙的数:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144……这列数,被称为斐波那契数列.其特点是从第3项开始,每一项都等于前两项之和,斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.
任务:(1)填写下表并写出通过填表你发现的规律:
项 | 第2项 | 第3项 | 第4项 | 第5项 | 第6项 | 第7项 | 第8项 | 第9项 | … |
这一项的平方 | 1 | 1 | 4 | 9 | 25 | ________ | _______ | 441 | … |
这一项的前、后两项的积 | 0 | 2 | 3 | 10 | 24 | _______ | _______ | 442 | … |
规律:_____________;
(2)现有长为的铁丝,要截成小段,每段的长度不小于,如果其中任意三小段都不能拼成三角形,则的最大值为___________________.
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【题目】已知下列命题:①若=-a,则a≤0;②若a>,则a2>b2;③两个位似图形一定是相似图形;④平行四边形的两组对边分别相等.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
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