Question

12．如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形OABC的顶点A，B都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）的图象上，边BC与x轴交于点D，则$\frac{BD}{CD}$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，BG⊥AE于G，于是得到EF=BG，BF=GE，根据正方形的性质得到OA=AB，∠OAB=90°，根据余角的性质得到∠OAE=∠ABG，根据全等三角形的性质得到AG=OE，AE=BG，设A（a，$\frac{k}{a}$），得到OE=AG=a，AE=BG=$\frac{k}{a}$，求得B（$\frac{k}{a}$+a，$\frac{k}{a}$-a），得方程求得k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a²（负值舍去），过C作CH⊥x轴于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过A作AE⊥x轴于E，过B作BF⊥x轴于F，BG⊥AE于G，
则EF=BG，BF=GE，
∵四边形OABC是正方形，
∴OA=AB，∠OAB=90°，
∴∠OAE+∠BAE=∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠OAE=∠ABG，
在△AOE与△BAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠ABG}\\{∠AEO=∠AGB}\\{OA=AB}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BAG，
∴AG=OE，AE=BG，
设A（a，$\frac{k}{a}$），
∴OE=AG=a，AE=BG=$\frac{k}{a}$，
∴B（$\frac{k}{a}$+a，$\frac{k}{a}$-a），
∴（$\frac{k}{a}$+a）（$\frac{k}{a}$-a）=k，
解得k=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$a²（负值舍去），
∴B点的纵坐标为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}a$，
BF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a，
过C作CH⊥x轴于H，
同理△AOE≌△OCH，
∴CH=OE=a，
∵CH⊥x轴，BF⊥x轴，
∴CH∥BF，
∴△BFD∽△CHD，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BF}{CH}$=$\frac{\frac{\sqrt{5}-1}{2}a}{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查了反比例函数的系数k的几何意义，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．