Question

【题目】如图,将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中,其中A（1,0）,C（0,1）,P为AB边上一个动点,折叠该纸片,使O点与P点重合,折痕l与OP交于点M,与对角线AC交于Q点

（Ⅰ）若点P的坐标为（1,0.25），求点M的坐标；

（Ⅱ）若点P的坐标为（1,t）

①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）

②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案）

（Ⅲ）当点P在边AB上移动时,∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化,写出它的角度的大小.并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）M点坐标为（， ）；（Ⅱ）① M（，t）；②Q点坐标为（， ）；

（Ⅲ）不变化，∠QOP=45°，理由见解析.

【解析】解：（Ⅰ）过M作ME⊥x轴于点E，如图1，

由题意可知M为OP中点，∴E为OA中点，∴OE=OA=，ME=AP=，∴M点坐标为（， ）；

（Ⅱ）①同（Ⅰ），当P（1，t）时，可得M（，t）；

②设直线OP的解析式为y=kx，把P（1，t）代入可求得k=t，

∴直线OP解析式为y=tx，又l⊥OP，

∴可设直线MQ解析式为y=﹣x+b，且过点M（， ），

把M点坐标代入可得=﹣+b，解得b=，∴直线l解析式为y=﹣x+，

又直线AC解析式为y=﹣x+1，

联立直线l和直线AC的解析式可得 ，解得 ，

∴Q点坐标为（， ）；

（Ⅲ）不变化，∠QOP=45°．理由如下：由（Ⅱ）②可知Q点坐标为（， ），

∴OQ2=PQ2=（）2+（）2=，

又P（1，t），∴OP2=1+t2，∴OQ2+QP2=OP2，

∴△OPQ是以OP为斜边的等腰直角三角形，∴∠QOP=45°，即∠QOP不变化．