Question

11．设直线y₁=k₁x+b₁与y₂=k₂x+b₂，若y₁⊥y₂于点M，我们就称直线y₁与y₂是点M的直角线．

（1）已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+2；y=x+2；y=2x+2；点N（0，2）；在图1的直角坐标系中画出它们的函数图象；并指出直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与y=2x+2是点N的直角线．
（2）如图2四边形OABC在平面直角坐标系中，BC∥OA；O（0，0）；A（3，0）；B（2，7）；C（0，7）；P为OC上一点，且点P的坐标为（0，1），连结AP、BP，试猜想直线AP、BP是否是点P的直角线．并说明理由．
（3）拓展：在线段OC上，是否还存在有一点P₁，使直线AP₁、BP₁是点P₁的直角线，若存在，直接写出P₁的坐标（0，6）．

Answer 1

分析 （1）利用描点法可画出图象，观察图象可求得答案；
（2）由点的坐标可分别求得PB、PA和AB的长，利用勾股定理的逆定理可证明△PAB为直角三角形，可求得答案；
（3）可设出点P₁的坐标为（0，y），根据直角线的定义可知△P₁AB为直角三角形，利用勾股定理可列出关于y的方程，可求得点P₁的坐标．

解答 解：
（1）利用描点法画出直线，如图1，

∴直线y=-$\frac{1}{2}$x+2和y=2x+2是N点的直角线，
故答案为：y=-$\frac{1}{2}$x+2；y=2x+2；
（2）直线AP、BP是点P的直角线．理由如下：
由题意知：
在Rt△APO中，OP=1，OA=3，PA²=1²+3²=10，
在Rt△PBC中，BC=2，PC=6，PB²=2²+6²=40，
又点B坐标为（2，7），
∴AB²=（3-2）²+7²=50，
∴AB²=PA²+PB²，
∴△PAB为直角三角形，即PA⊥PB，
∴直线AP、BP是点P的直角线；
（3）设P₁的坐标为（0，y），如图2，连接P₁A、P₁B，

则P₁C=7-y，OP₁=y，且BC=2，OA=3，
在Rt△P₁OA中，由勾股定理可得P₁A²=y²+3²=y²+9，
在Rt△P₁BC中，由勾P₁B²=2²+（7-y）²=y²-14y+53，
又点B坐标为（2，7），
∴AB²=（3-2）²+7²=50，
∵直线AP₁、BP₁是点P₁的直角线，
∴P₁A⊥P₁B，
∴P₁A²+P₁B²=AB²，
∴y²+9+y²-14y+53=50，解得y=1或y=6，
∴P₁的坐标为（0，6），
故答案为：（0，6）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象的画法、勾股定理及其逆定理、新定义及方程思想等知识．在（1）中注意描点法的步骤，在（2）中分别求得PA、PB和AB的长是解题的关键，在（3）中利用直角线的定义得到关于点P₁的坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．