Question

如图，P是⊙O的直径AB延长线上一点，点C在⊙O上，AC=PC，∠ACP=120°．
（1）求证：CP是⊙O的切线；
（2）若AB=4cm，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据等腰三角形中等边对等角即可求得∠OCP的度数，即可证得；
（2）利用扇形的面积公式，以及阴影部分的面积=S_△OCP-S_扇形OCB即可求解．

解答：（1）证明：连接OC．
∵∠ACP=120°，AC=PC，
∴∠A=∠P=

180°-∠ACP

2

=30°，
∴∠COP=2∠A=60°，
在△OCP中，∠OCP=180°-60°-30°=90°．
∴OC⊥CP，
∴CP是⊙O的切线；
（2）AB=4cm，
则OC=

1

2

AB=2cm，
∵直角△OCP中，∠P=30°，
∴OP=2OC=4，
∴CP=

OP2-OC2

=2

3

，
∴S_△OCP=

1

2

OC•CP=

1

2

×2×2

3

=2

3

（cm²），
S_扇形OCB=

60π×22

360

=

2π

3

（cm²），
则阴影部分的面积=2

3

-

2π

3

（cm²）．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．