Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线经过，两点，与轴交于另一点．如图1，点为抛物线上任意一点，过点作轴交于．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当是直角三角形时，求点坐标；

（3）如图2，作点关于直线的对称点，作直线与抛物线交于，设抛物线对称轴与轴交点为，当直线经过点时，请你直接写出的长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或;(3) 2．

【解析】

(1)先求出A、C点的坐标，然后用待定系数法确定抛物线的解析式即可；

（2）设，则，然后就P在BC上方和下方分别解答即可；

（3）由题意得B、C两点的坐标分别为（4,0）和（0,2），求得M和Q的坐标，得出直线QM的解析式，进而确定E、F两点的横坐标和纵坐标；然后过点E做垂直于x轴的直线交点为H，过点F做垂直于y轴的直线，交于点G ，证得△EQH∽△EFG和△MQJ∽△EQH，然后运用相似三角形的性质列出方程解答即可.

解：（1）在中，当时，当时，∴、

∵抛物线的图象经过，两点

∴

∴

∴抛物线的解析式为

（2）设，则

①当在的上方时，

，

若，

∵轴，可得轴

∴

∴

在中

∴在中，

∴

∴或（舍去）

∴点坐标

②当在的下方时，过作于．

若，

∴

∴在中，

∴．

∴或（舍去）

∴点坐标

∴当是直角三角形时，点坐标为或．

（3）设BC直线为y=kx+b，

有 解得导，

∴直线BC为

抛物线的解析式可化为： ，

∴点Q坐标为（1,0）

∵PM⊥x轴

∴点M横坐标即为点P横坐标，为2

又∵点M在直线BC上，有=1

∴点M坐标为（2,1）

设过点Q、M直线为y=k2x+b2，

则有 ，解得

∴ QM直线为y=x-1

由解得

∴E、F横坐标别为Ex=，Fx=

又∵点E、F在QM直线上，

∴点E、F别坐标为Ey=，Fy=

过点E作垂直于x轴的直线交点为H，过点F作垂直于y 轴的直线，交于点G

∵EH⊥x轴，FG⊥y轴

∴EH⊥FG,G点坐标为（Ex，Fy）

∴∠EHQ=∠EGF=90°

又∵∠EQH=∠EFG

△EQH∽△EFG

过点M作垂直于x轴的直线交点为J

同理可得△MQJ∽△EQH，

∴△EQH∽△EFG△MQJ，

∴

∴

∴EF=×=2