Question

如下图，过四边形的四个顶点分别作对角线的平行线，所围成的四边形显然是平行四边形。在进一步学习时，小明和小亮产生了很大的意见分歧：

小明说：如果一个是平行四边形是矩形，则四边形一定是菱形；

小亮说：如果一个平行四边形是矩形，则四边形一定是对角线互相垂直的四边形，而不一定是矩形。

（1）你认为谁的观点是错误的。

（2）如果四边形对角线相等，平行四边形形状为         

（3）如果四边形为正方形，则四边形必须满足条件                   ，

并且在下面的网格中画出符合条件（3）的图形并说明理由。

 

Answer 1

【答案】

（1）小明的观点是错误的。                                   

（2）菱形                                            

（3）四边形必须满足条件为对角线互相垂直且相等         

     能画出符合条件的图                                        

   如网格中图中AC⊥BD且AC=BD

∵EF∥AC∥HG，HE∥DB∥GF，AC⊥BD

∴ACGH、DBFG、EFGH为平行四边形，                       

∠HAC=90º，∠AHG=90º

∴HG=AC，GF=BD，EFGH为矩形                                

∵AC=BD

∴HG=GF

∴EFGH为菱形                                                

【解析】（1）根据菱形和矩形的判定方法，可以直接判定小明和小亮的观点谁正确．

（2）根据菱形的判定方法可知，如果四边形ABCD对角线相等，那么平行四边形EFGH是菱形．

（3）根据正方形的性质，可知四边形ABCD必须满足条件为对角线互相垂直且相等，先判定ACGH、DBFG、EFGH为平行四边形，再证明EFGH为矩形且为菱形，即四边形EFGH为正方形．