【题目】如图,已知在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,CE=AB,点F为CE的中点,点G在线段CD上,联结DF,交AG于点M,交EG于点N,且∠DFC=∠EGC.
(1)求证:CG=DG;
(2)求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)首先证明△ECG≌△DCF,则有CG=CF,因为CF=CE,则有CG=CD,则结论可证;
(2)延长AG、BC交于点H,首先证明△ADG≌△HCG,则有AG=HG,然后根据直角三角形斜边中线有AG=HG=EG,进而得出∠CDF=∠DAH,进一步可证△ADG∽△DMG,则有,即,又因为CG=DG即可证明结论.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,CE=AB,
∴AB=CD=EC.
又∵∠DFC=∠EGC,∠FCD=∠GCE,
∴△ECG≌△DCF,
∴CG=CF.
∵点F为CE的中点,
∴CF=CE,
∴CG=CD,
即:CG=DG.
(2)延长AG、BC交于点H.
∵△ECG≌△DCF,
∴∠CEG=∠CDF,DG=CG.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠DAH=∠H,∠ADC=∠DCH.
∴△ADG≌△HCG,
∴AG=HG.
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴AG=HG=EG.
∴∠CEG=∠H,
∴∠CDF=∠DAH.
又∵∠AGD=∠DGM,
∴△ADG∽△DMG.
∴,
∴
又∵CG=DG,
∴.
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【题目】已知:如图,在平面直角坐标系中,直线与轴相交于点,与轴交于点.抛物线经过点和点,并与轴相交于另一点,对称轴与轴相交于点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)求证:;
(3)如果点在线段上,且,求点的坐标.
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【题目】如图,y=ax2+bx-2的图象过A(1,0),B(-2,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线关系式及顶点M的坐标;
(2)若N为线段BM上一点,过N作x轴的垂线,垂足为Q,当N在线段BM上运动(N不与点B、点M重合),设NQ的长为t,四边形NQAC的面积为S,求S与t的关系式并求出S的最大值;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件P的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点A,它的顶点为点B.
(1)点A的坐标为______,点B的坐标为______(用m表示);
(2)已知点M(-6,4),点N(3,4),若抛物线与线段MN恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.
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【题目】已知,在△ABC中,AB=AC,求作△ABC的外心O,以下是甲、乙两同学的作法:
对于两人的作法:
甲:如图1,(1)作AB的垂直平分线DE;(2)作BC的垂直平分线FG;(3)DE,FG交于点O,则点O即为所求.
乙:如图2,(1)作∠ABC的平分线BD;(2)作BC的垂直平分线EF;(3)BD,EF交于点O,则点O即为所求.
对于两人的作法,正确的是( )
A.两人都对B.两人都不对C.甲对,乙不对D.甲不对,乙对
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax﹣a(a为常数)的图象与y轴相交于点A,与函数(x>0)的图象相交于点B(t,1).
(1)求点B的坐标及一次函数的解析式;
(2)点P的坐标为(m,m)(m>0),过P作PE∥x轴,交直线AB于点E,作PF∥y轴,交函数(x>0)的图象于点F.
①若m=2,比较线段PE,PF的大小;
②直接写出使PE≤PF的m的取值范围.
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【题目】图1是甲、乙两个圆柱形水槽,一个圆柱形的空玻璃杯放置在乙槽中(空玻璃杯的厚度忽略不计).将甲槽的水匀速注入乙槽的空玻璃杯中,甲水槽内最高水位y(厘米)与注水时间t(分钟)之间的函数关系如图2线段DE所示,乙水槽(包括空玻璃杯)内最高水位y(厘米)与注水时间t(分钟)之间的函数关系如图2折线O﹣A﹣B﹣C所示.记甲槽底面积为S1,乙槽底面积为S2,乙槽中玻璃杯底面积为S3,则S1:S2:S3的值为_______.
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【题目】如图,△ABC和△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EFD=90,△DEF,的顶点E与△ABC的斜边AB的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段AC与线段EF相交于点Q,射线ED与射线BC相交于点P.
(1)求证:△AEQ∽△BPE;
(2)求证:PE平分∠BPQ;
(3)当AQ=2,AE=,求PQ的长.
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