15．数学问题：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O
1、O
2、…、O
n-1，求∠BO
n-1C的度数？
问题探究：我们从较为简单的情形入手．
探究一：如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于点O
1，求∠BO
1C的度数？
解：由题意可得∠O
1BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠O
1CB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠O
1BC+∠O
1CB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-α）
∴∠BO
1C=180°-$\frac{1}{2}$（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α．
探究二：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O
1、O
2，求∠BO
2C的度数．
解：由题意可得∠O
2BC=$\frac{2}{3}$∠ABC，∠O
2CB=$\frac{2}{3}$∠ACB
∴∠O
2BC+∠O
2CB=$\frac{2}{3}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{2}{3}$（180°-α）
∴∠BO
2C=180°-$\frac{2}{3}$（180°-α）=60°+$\frac{2}{3}$α．
探究三：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O
1、O
2、O
3，求∠BO
3C的度数．
（仿照上述方法，写出探究过程）
问题解决：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O
1、O
2、…、O
n-1，求∠BO
n-1C的度数．
问题拓广：
如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O
1，两条角平分线构成一角∠BO
1C．
得到∠BO
1C=90°+$\frac{1}{2}$α．
探究四：如图3，∠A=α，∠ABC、∠ACB三等分线分别交于点O
1、O
2，四条等分线构成两个角∠BO
1C，∠BO
2C，则∠BO
2C+∠BO
1C=180°+α．
探究五：如图4，∠A=α，∠ABC、∠ACB四等分线分别交于点O
1、O
2、O
3，六等分线构成两个角∠BO
3C，∠BO
2C，∠BO
1C，则∠BO
3C+∠BO
2C+∠BO
1C=270°+$\frac{3}{2}$α．
探究六：如图1，在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分线分别交于点O
1、O
2、…、O
n-1，（2n-2））等分线构成（n-1）个角∠BO
n-1C…∠BO
3C，∠BO
2C，∠BO
1C，则∠BO
n-1C+…∠BO
3C+∠BO
2C+∠BO
1C=（n-1）（90°+$\frac{1}{2}$α）．
名校课堂系列答案
如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D、E分别是BC、AC边上的点，且∠ADE=∠B，EA=DE，则BD的长=$\frac{39}{4}$．
如图，一个圆柱体的底面周长为24，高BD=5，BC是直径．一只蚂蚁从点D出发，沿着表面爬到C的最短路程大约为（ ）
如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为4$\sqrt{2}$．