Question

如图，AB是⊙O的直径，点C是BA延长线上一点，CD切⊙O于点D，CA=1，CD是⊙O半径的倍．
（1）求⊙O的半径R；
（2）如图1，弦DE∥CB，动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化，若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积；
（3）如图2，动点M从A出发，在⊙O上按逆时针方向向B运动．连接DM，过D作DM的垂线，与MB的延长线交于点N，当点M运动到什么位置时，DN取到最大值？求此时动点M所经过的弧长．

Answer 1

解：（1）∵CD切⊙O于点D，
∴三角形CDO是直角三角形，
∵CA=1，CD是⊙O半径的倍，
∴在直角△CDO中，CD²+OD²=CO²，
则，+R²=（1+R）²，
∴R=1；

（2）∵DE∥CB，
∴动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中，△DEQ的底DE不变，底DE上的高不变，
∴△DEQ的面积不变，则阴影部分的面积不变；
由OD=1，CO=2，
∴∠C=30°，则∠COD=60°，
∴∠ODE=60°，
∵∠ODE=∠OED，
∴∠OED=60°
∴∠DOE=60°，
∴S_阴影=×πR²=π；

（3）如图，连接AD、BD，
∴∠DAB=∠DMN，又∠ADB=∠MDN=90°，
∴△ADB∽△MDN，
又AD=1，AB=2，
∴BD=，
∴==，
∴DN=DM，
∴当DM为最大值，即DM过圆心O时，DN取到最大值；
∵∠AOD=60°，
∴∠AOM=120°，
∴=×2πR=π．
分析：（1）由题意，CD是⊙O半径的倍，CA=1，在直角△CDO中，根据勾股定理CD²+OD²=CO²，代入即可求出；
（2）由DE∥CB，可知，动点Q从A出发沿直径AB向B运动的过程中，△DEQ的面积不变，则阴影部分的面积不变；当点Q运动到O点时，则∠DOE=60°，即可求出阴影部分的面积；
（3）如图，连接AD、BD，当DM过圆心O时，DN取到最大值；易证△ADB∽△MDN，由已知，可求得，AD=1，BD=，所以，DN=DM，此时，∠AOM=120°，即可求得的长．
点评：本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、弧长的计算及直角三角形的知识，作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决是解答本题的关键．