Question

18．在Rt△ABC中，∠C=90°，且满足AC＞BC，BD平分∠ABC，点E在BC上，∠EDB=45°，若BE=5CE，CD=3，则AB的长为10．

Answer 1

分析 如图，作BF⊥DE于F，FN⊥BC于N，FM⊥AC于M，DH⊥AB于H，连接CF．由△DMF≌△BNF，推出FM=FN，DM=BN，由FM⊥CM，FN⊥CN，推出∠FCM=∠FCN=45°，推出CM=FM=CN=FN，四边形MCNF是正方形，设边长为x，CE=a，BE=5a，由DM=BN，可得3+x=6a-x，推出x=$\frac{6a-3}{2}$，由CD∥FN，得$\frac{CD}{FN}$=$\frac{CE}{EN}$，得$\frac{3}{\frac{6a-3}{2}}$=$\frac{a}{\frac{6a-3}{2}-a}$，解得a=1或$\frac{3}{2}$，分两种情形分别求解即可．

解答 解：如图，作BF⊥DE于F，FN⊥BC于N，FM⊥AC于M，DH⊥AB于H，连接CF．
∵∠FDB=∠FBD=45°，
∴DF=BF，∵∠DCE=∠EFB=90°，∠CED=∠FEB，
∴∠CDE=∠EBG，
在△DMF和△BNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠BNF=90°}\\{∠MDF=∠NBF}\\{DF=BF}\end{array}\right.$，
∴△DMF≌△BNF，
∴FM=FN，DM=BN，∵FM⊥CM，FN⊥CN，
∴∠FCM=∠FCN=45°，
∴CM=FM=CN=FN，四边形MCNF是正方形，设边长为x，CE=a，BE=5a，
∵DM=BN，
∴3+x=6a-x，
∴x=$\frac{6a-3}{2}$，
∵CD∥FN，
∴$\frac{CD}{FN}$=$\frac{CE}{EN}$，
∴$\frac{3}{\frac{6a-3}{2}}$=$\frac{a}{\frac{6a-3}{2}-a}$，
解得a=1或$\frac{3}{2}$，
∵$\frac{{S}_{△BDC}}{{S}_{△BDA}}$=$\frac{DC}{AD}$=$\frac{\frac{1}{2}•BC•DC}{\frac{1}{2}•AB•CD}$，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB，DC⊥BC，
∴$\frac{DC}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$，设AD=y，
①当a=1时，BC=6，
∴$\frac{3}{y}$=$\frac{6}{AB}$，
∴AB=2y，
在Rt△ABC中，6²+（y+3）²=（2y）²，解得y=5或-3（舍弃），
∴AB=10，
②当a=$\frac{3}{2}$时，BC=9，
∴$\frac{3}{y}$=$\frac{9}{AB}$，
∴AB=3y，
在Rt△ABC中，9²+（y+3）²=（3y）²，解得y=3或-$\frac{15}{4}$（舍弃），
AD+DC=6，6＜9不合题意舍弃，
∴AB=10．
故答案为10．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．