Question

【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板ADE如图放置,连接BE,EC.下列判断:①△ABE≌△DCE;②BE=EC;③BE⊥EC;④EC=DE.其中正确的有( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据AC=2AB，点D是AC的中点求出AB=CD，再根据△ADE是等腰直角三角形求出AE=DE，并求出∠BAE=∠CDE=135°，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCE全等，从而判断出①小题正确；根据全等三角形对应边相等可得BE=EC，从而判断出②小题正确；根据全等三角形对应角相等可得∠AEB=∠DEC，然后推出∠BEC=∠AED，从而判断出③小题正确；根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍，用DE表示出AD，然后得到AB、AC，再根据勾股定理用DE与EC表示出BC，整理即可得解，从而判断出④小题错误．

解：∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴CD=AC=AB，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∠BAE=90°+45°=135°，∠CDE=180°-45°=135°，
∴∠BAE=∠CDE，
在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴BE=EC，∠AEB=∠DEC，故②小题正确；
∵∠AEB+∠BED=90°，
∴∠DEC+∠BED=90°，
∴BE⊥EC，故③小题正确；
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD=DE，
∵AC=2AB，点D是AC的中点，
∴AB=DE，AC=2DE，
在Rt△ABC中，BC2=AB2+AC2=（DE）2+（2DE）2=10DE2，
∵BE=EC，BE⊥EC，
∴BC2=BE2+EC2=2EC2，
∴2EC2=10DE2，
解得EC=DE，故④小题错误，
综上所述，判断正确的有①②③共3个．
故选：C．