Question

已知：如图所示，抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，且OB=OC，则下列结论正确的个数是（　　）
①b=2a   ②a-b+c＞-1  ③0＜b²-4ac＜4   ④ac+1=b．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

分析：①根据抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，即-

b

2a

=-1，整理后即可得到答案；
②观察函数图象可以得到当x=-1时，函数值大于-1，从而可以得到答案；
③观察图象知函数图象与x轴有两个交点，从而得到b²-4ac＞0；然后根据表示出a，b，c的值，根据不等式的性质，即可求得；
④由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标，然后代入函数式，即可得到答案．

解答：解：①∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=-1，
∴-

b

2a

=-1，
整理得b=2a，
故①正确；
④由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OB，所以B（-c，0），把它代入y=ax²+bx+c，即ac2-bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac-b+1=0，所以ac+1=b．
②∵b=2a，ac+1=b，
∴a=

1

2-c

，
∵0＜c＜1，
∴

1

2

＜a＜1，
∴1＜b＜2，
∴a-b+c＞-1
∴当x=-1时，y=ax²+bx+c=a-b+c＞-1，
故②正确；
③∵函数图象与x轴有两个交点，
∴得到b²-4ac＞0，
∵0＜b²＜4，4ac＞0，
∴b²-4ac＜4
故③正确；
故选D．

点评：本题考查了二次函数的系数与图象的关系，根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系．