Question

3．在梯形ABCD中，AB=a，CD=b，a＜b，EF为一线段，若S_{四边形ABFE}=S_{四边形CDEF}，且∠BFE=∠D，求EF的长（用a，b表示）

Answer 1

分析 延长DA，CB交于点M，设△MAB=S，由AB∥CD，得到∠MAB=∠ADC，推出△MAB∽△MDC，根据相似三角形的性质得到$\frac{{S}_{△MAB}}{{S}_{△MDC}}$=$\frac{A{B}^{2}}{C{D}^{2}}$，求出S_△MDC=$\frac{s{b}^{2}}{{a}^{2}}$，于是得到S_梯形ABCD=S_△MDC-S_△MAB=$\frac{s（{b}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，根据已知条件S_{四边形ABFE}=S_{四边形CDEF}，得到S_{四边形ABEF}=$\frac{1}{2}$S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{s（{b}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，然后通过△MAB∽△MFE，求得$\frac{{S}_{△MAB}}{{S}_{△MEF}}$=$\frac{A{B}^{2}}{E{F}^{2}}$，即可得到结论．

解答 解：延长DA，CB交于点M，设△MAB=s，
∵AB∥CD，
∴∠MAB=∠ADC，
∵∠M=∠M，
∴△MAB∽△MDC，
∴$\frac{{S}_{△MAB}}{{S}_{△MDC}}$=$\frac{A{B}^{2}}{C{D}^{2}}$，
即$\frac{S}{{S}_{△MDC}}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$，
∴S_△MDC=$\frac{s{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
∴S_梯形ABCD=S_△MDC-S_△MAB=$\frac{s（{b}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，
∵S_{四边形ABFE}=S_{四边形CDEF}，
∴S_{四边形ABEF}=$\frac{1}{2}$S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}$•$\frac{s（{b}^{2}-{a}^{2}）}{{a}^{2}}$，
∴S_△MEF=S_△MAB+S_{四边形ABEF}=s+$\frac{s（{b}^{2}-{a}^{2}）}{2{a}^{2}}$=$\frac{s（{b}^{2}+{a}^{2}）}{2{a}^{2}}$，
∵∠BFE=∠ADC，
∴∠MAB=∠BFE，
∵∠M=∠M，
∴△MAB∽△MFE，
∴$\frac{{S}_{△MAB}}{{S}_{△MEF}}$=$\frac{A{B}^{2}}{E{F}^{2}}$，
即：$\frac{s}{\frac{s（{b}^{2}+{a}^{2}）}{2{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{E{F}^{2}}$，
∴EF²=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
∴EF=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，梯形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．