Question

11．如图，点p（-1，0），以O₁，O₂，O₃，…为圆心在x轴正半轴上连续作圆，半径分别为1，2，3，…，过点P作各圆的切线，切点分别为A₁、A₂、A₃，…，则sin∠A_nPO_n=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$．

Answer 1

分析 利用切线的性质结合PO_n的变化得出其长度，再根据三角函数的定义即可解决问题．

解答 解：如图，连接O₃A₃，
∵PA₃是⊙O₃的切线，
∴PA₃⊥O₃A₃，
∴∠PA₃O₃=90°，
在RT△PA₃O₃中，∵∠PA₃O₃=90°，PO₂=2²+1=5，A₃O₃=3，PO₃=3²+1=10，
故A_nO_n=n，PO_n=n²+1，
∴sin∠A_nPO_n=$\frac{{{A}_{n}O}_{n}}{P{O}_{n}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+1}$．
故答案为：$\frac{n}{{n}^{2}+1}$．

点评 本题考查了切线的性质、三角函数的定义，熟练应用切线的性质以及三角函数的定义是解题的关键，属于中考常考题型．