Question

把一块三角板置于平面直角坐标系中，三角板的直角顶点为P，两直角边与x轴交于A、B，如图1，测得PA=PB，AB=2．以P为顶点的抛物线y=-（x-2）²+k恰好经过A、B两点，抛物线的对称轴x=a与x轴交于点E．

（1）填空：a=______，k=______，点E的坐标为______；
（2）设抛物线与y轴交于点C，过P作直线PM⊥y轴，垂足为M．如图2，把三角板绕着点P旋转一定角度，使其中一条直角边恰好过点C，另一条直角边与抛物线的交点为D，试问：点C、D、E三点是否在同一直线上？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若Q（m，n）为抛物线上的一动点，连接CF、QC，过Q作QF⊥PM，垂足为F．试探索：是否存在点Q，使得△QCF是以QC为腰的等腰三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=-（x-2）²+k，
∴抛物线的对称轴x=a=2，
∵三角板的直角顶点为P，两直角边与x轴交于A、B，PA=PB，AB=2，
∴PE=AB=1，
∴k=1，
∴E点坐标为：（2，0），
故答案为：2，1，（2，0）；

（2）过D作DG⊥PM于点G，
则有∠DGP=∠PMC=90°
由题意可知，∠CPD=90°，即∠DPG+∠CPM=90°，
∵PM⊥y轴，
∴∠CPM+∠PCM=90°，
∴∠DPG=∠PCM，
∴△DPG∽△PCM，
∴，
（注：本式也可由tan∠DPG=tan∠PCM得到）
设点D坐标为（t，-t²+4t-3），
则PG=t-2，DG=1-（-t²+4t-3）=t²-4t+4，
又∵PM=2，MC=4，
∴，
解得：，t₂=2（不合舍去）．
故点D坐标为，
设直线CE的解析式为y=k₁x+b（k₁≠0），
由题意得，
解得
故直线CE的解析式为，
当时，
则点D在直线CE上，即点C、D、E三点在同一直线上．

（3）存在．
由勾股定理可得：QC²=m²+（n+3）²，QF²=（n-1）²，CF²=m²+16，
当QC=QF时，有QC²=QF²
则m²+（n+3）²=（n-1）²
解得：，
又∵Q（m，n）在抛物线上，
∴n=-m²+4m-3
∴，
解得：，m₂=4，
当QC=CF时，有QC²=CF²，
∴m²+（n+3）²=m²+16，
解得n₁=-7，n₂=1（不合题意舍去）
由-m²+4m-3=-7，
解得：，
综上所述，当，4或时，△QCF是以QC为腰的等腰三角形．
分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得出PE的长以及利用顶点式求出对称轴即可；
（2）首先过D作DG⊥PM于点G，得出△DPG∽△PCM，进而得出，即可求出D点坐标，再求出直线CE的解析式进而得出D点是否在直线上；
（3）由勾股定理可得：QC²=m²+（n+3）²，QF²=（n-1）²，CF²=m²+16，再利用当QC=QF时以及当QC=CF时求出m的值即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．