Question

（2011•金东区模拟）已知抛物线y=-

2

3

(x+1)(x-3)与x轴相交于点A，B（A点在B点左边），点C为抛物线上一个动点，直线y=m（0＜m＜2）与线段AC，BC分别相交于D，E两点，在x轴上的点P，使得△DEP为等腰直角三角形，则点P的坐标为

P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）

．

Answer 1

分析：若△DEP为等腰直角三角形，应分情况进行讨论，需注意应符合两个条件：等腰，有直角．

解答：解：令y=-

2

3

(x+1)(x-3)=0，解得：x=-1或x=3，
∵A点在B点左边，
∴A点的坐标为（-1，0），B点的坐标为（3，0），
设直线y=m与y轴的交点为F（0，m）．
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP₁⊥x轴于P₁，作EP₂⊥x轴于P₂，如图，
则△P₁DE和△P₂ED都是等腰直角三角形，DE=DP₁=FO=EP₂=m，AB=x₂-x₁=4．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CF

OC

，即

m

4

=

2-m

2

．
解得m=

4

3

．
∴点D的纵坐标是

4

3

，
∵点D在直线AC上，
∴2x+2=

4

3

．，解得x=-

1

3

，
∴D（-

1

3

，

4

3

）．
∴P₁（-

1

3

，0），同理可求P₂（1，0）．

②当DE为底边时，
过DE的中点G作GP₃⊥x轴于点P₃，如图，
则DG=EG=GP₃=m，
由△CDE∽△CAB，
得

DE

AB

=

CF

OC

，即

2m

4

=

2-m

2

，
解得m=1．
同1方法．求得D（-

1

2

，1），E（

3

2

，1），
∴DG=EG=GP₃=1
∴OP₃=FG=FE-EG=

1

2

，
∴P₃（

1

2

，0）
结合图形可知，P₃D²=P₃E²=2，ED²=4，
∴ED²=P₃D²+P₃E²，
∴△DEP₃是Rt△，
∴P₃（

1

2

，0）也满足条件．
综上所述，满足条件的点P共有3个，即P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．
故答案为：P₁（-

1

2

，0），P₂（1，0），P₃（

1

2

，0）．

点评：本题考查的知识点较为全面：解一元二次方程，相似的应用以及勾股定理，等腰三角形的性质等，需耐心分析，加以应用．