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    如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm，线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时停止运动，过点E作EF∥AC交AB于点F，连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
    （1）用含t的代数式表示线段EF的长度为
     
    ；
    （2）在运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，试说明理由；
    （3）若点M是线段EF的中点，请直接写出在整个运动过程中点M运动路线的长．
    考点：相似形综合题
    专题：
    分析：（1）因为平行，则
    EF
    AC
    =
    BE
    BC
    ，且BE，AC，BC边易知，则EF可表示．
    （2）运动过程中使△DEF为等腰三角形，则要考虑哪两边为腰，故要考虑三种情况，当DF=EF时，当DE=EF时，当DE=EF时．分别讨论易根据三角形相似、边成比例及（1）中EF的值得到关于t的方程，解得即可．
    （3）求运动轨迹，首先要明白M点运动的轨迹到底是什么情况，画图易猜想，此轨迹为MN．而因为运动中的EF都与AC平行，故利用边成比例可得AN=CN，故运动过程中M点都在AC边的中线上．因为三角形各边已知且固定，根据勾股定理，相似等易得BN、BM，则MN可求．
    解答：解：（1）线段EF的长度为
    5
    8
    (t+4)cm    ．
    分析如下：
    ∵EF∥AC，
    ∴
    EF
    AC
    =
    BE
    BC
    ．
    ∵AC=10cm，BC=16cm，BE=BD+DE=（t+4）cm，
    ∴EF=
    BE
    BC
    •AC    =
    t+4
    16
    •10    =
    5
    8
    (t+4)cm    ．

    （2）①当DF=EF时，有∠EDF=∠DEF，
    ∵EF∥AC，
    ∴∠DEF=∠C，
    ∵AB=AC，
    ∴∠B=∠C，
    ∴∠B=∠C=∠DEF=∠EDF，
    ∴点B与点D重合，
    ∴t=0．
    ②当DE=DF时，
    ∵DE=4cm，EF=
    5
    8
    (t+4)cm    ，
    ∴4=
    5
    8
    (t+4)    ，
    解得 t=
    12
    5
    ．
    ③当DE=EF时，
    BE：BC=EF：AC，即BE：16=4：10
    解得BE=6.4，
    t=（6.4-4）÷1=2.4．
    综上所述，当t=0，
    12
    5
    秒时，△DEF为等腰三角形．

    （3）线段EF的中点M运动路线的长为
    9
    4
    		17
    cm．
    分析如下：

    如图1，当t=0秒时，B、D重合，连接BM并延长，交AC于N，过点A作，AP⊥BC于P，过点N作NQ⊥BC于Q．
    ∵EF∥AC，
    ∴
    EM
    CN
    =
    BM
    BN
    =
    MF
    NA
    ，
    ∵FM=ME，
    ∴AN=NC，
    ∴MN就是点M运动路线．
    在Rt△APC中，
    ∵PC=
    1
    2
    •BC    =8cm，AC=10cm，
    ∴AP=6cm．
    ∵NQ∥AP，
    ∴CQ=
    1
    2
    •PC    =4cm．
    在Rt△BNQ中，
    ∵NQ=
    1
    2
    •AP    =3cm，BQ=BC-CQ=16-4=12cm，
    ∴BN=3
    		17
    cm．
    ∵
    BM
    BN
    =
    BE
    BC
    ，
    ∴
    BM
    3
    		17
    =
    4
    16
    ，
    解得 BM=
    3
    4
    		17
    cm，
    ∴MN=BN-BM=
    9
    4
    		17
    cm．
    点评：本题考查了平行线截得对应边长成比例，三角形相似判定、性质，中位线及利用勾股定理构造直角三角形解边长等常规知识，且难度适中，是一道非常值得考生练习掌握的题目．
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