Question

如图所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，D是AB上的一点，且DE⊥BC，垂足为E，直角边ED交直角边CA的延长线于点F，则当AD=______时，△ADF与△BDE的面积之和最小，最小值为______．

Answer 1

【答案】分析：设AD=x，则DF=x，∴BD=1-x，DE=（1-x），∴设y=S_△ADF+S_△DEB=AD•DF•sin45°+BD•DE•sin45°，由此可以建立关于x的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出当AD=AB时，△ADF与△DEB的面积之和最小，最小值为．
解答：解：设AD=x，则DF=x，
∴BD=1-x，DE=（1-x）．
∴设y=S_△ADF+S_△DEB
=AD•DF•sin45°+BD•DE•sin45°
=x•x•+（1-x）•（1-x）•
=（x-）²+
当x=时，y取最小值．
∴当AD=AB时，△ADF与△DEB的面积之和最小，最小值为．
点评：求几何图形面积最值的问题，一般可以转化为求二次函数的最值问题．