Question

已知：如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，E是AB上除O外的一点，AC与DE交于点F．①

AD

=

DC

；②DE⊥AB；③AF=DF．请你写出以①、②、③中的任意两个条件，推出第三个（结论）的一个正确命题．并加以证明．

Answer 1

分析：假如①和②作为条件，③作为结论组成一个命题为真命题，理由为：连接AD，BD，由两弧相等，根据等弧所对的圆周角相等得到∠DAC=∠B，又AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，且DE与AB垂直，从而得到三角形ABD与三角形AED都是直角三角形，根据直角三角形的锐角互余，得到∠DAE与∠ADE及∠B都互余，根据等角的余角相等得到∴∠ADE=∠B，等量代换得到∠DAC=∠ADE，再利用等角对等边得到DF=AF，得证．

解答：解：如果①、②为条件，③作为结论，组成的命题为真命题，…（1分）
理由如下：
证明：连接AD、BD，

∵

AD

=

DC

，
∴∠DAC=∠B，…（2分）
又∵AB为直径，DE⊥AB，
∴∠ADB=∠AED=90°，…（3分）
∴∠DAE+∠ADE=90°，∠DAE+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴∠DAC=∠ADE，…（4分）
∴AF=DF．…（5分）

点评：此题考查了圆周角定理，以及等腰三角形的判定，利用了转化的思想，属于开放型题，答案不唯一，只要满足题意，得到的命题为真命题都可以．