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如图,在边长为4的正方形ABCD中,以AD为直径作⊙O,以C为圆心,CD长为半径作⊙C,两圆交于正方形内一点E,连CE并延长交AB于F.
(1)求证:CF与⊙O相切.
(2)求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比.
分析:(1)连接OE、DE,根据等腰三角形性质推出∠ODE=∠OED,∠CDE=∠CED,推出∠OED+∠CED=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)过F作FM⊥DC于M,得出四边形ADMF是矩形,推出AD=FM=4,AF=DM,求出AF=EF,设AF=EF=x,DM=x,在Rt△FMC中,由勾股定理得出方程42+(4-x)2=(4+x)2,求出x的值,即可求出△BCF的周长和直角梯形ADCF的周长.
解答:(1)证明:
连接OE,DE,
∵OD=OE,CE=CD,
∴∠ODE=∠OED,∠CDE=∠CED,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADC=○ODE+∠CDE=90°,
∴∠OED+∠CED=90°,
即OE⊥CF,
∵OE为半径,
∴CF与⊙O相切.

(2)
解:过F作FM⊥DC于M,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=DC=BC=AB=CE=4,∠FAD=∠ADM=∠FMD=∠FMC=90°,
∴四边形ADMF是矩形,
∴AD=FM=4,AF=DM
∵∠OAF=90°,OA为半径,
∴AF切⊙O于A,CF切⊙O于E,
∴AF=EF,
设AF=EF=x,DM=x,
在Rt△FMC中,由勾股定理得:FM2+MC2=CF2
42+(4-x)2=(4+x)2
x=1,
∴AF=EF=DM=1,
∴CF=4+1=5,
∴△BCF的周长是BC+CF+BF=4+5+4-1=12,
直角梯形ADCF的周长是AD+DC+CF+AF=4+4+5+1=14,
∴△BCF和直角梯形ADCF的周长之比是12:14=6:7.
点评:本题考查了正方形性质,切线的性质和判定,矩形的性质和判定,勾股定理的应用,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力.
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