【题目】如图,四边形中,,以为直径的经过点,连接、交于点.
(1)证明:;
(2)若,证明:与相切;
(3)在(2)条件下,连接交于点,连接,若,求的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).
【解析】
(1)连接OC,证△OAD≌△OCD 得∠ADO=∠CDO ,由AD=CD知DE⊥AC ,再由AB为直径知BC⊥AC,从而得OD∥BC;
(2)根据tan∠ABC2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB,证OE为中位线知OEa,AE=CEAC=a,进一步求得DE2a,在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可;
(3)先证△AFD∽△BAD,再证△AED∽△OAD由相似的性质可,结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO,据此可得,结合(2)可得相关线段的长,代入计算可得.
(1)连接OC。
在△OAD和△OCD中,
∵,
∴△OAD≌△OCD(SSS),
∴∠ADO=∠CDO,
又AD=CD,
∴DE⊥AC.
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠ACB=90°,即BC⊥AC,
∴OD∥BC;
(2)∵tan∠ABC2,
∴设BC=a、则AC=2a,
∴AD=AB.
∵OE∥BC,且AO=BO,
∴OEBCa,AE=CEAC=a.
在△AED中,DE2a.
在△AOD中,AO2+AD2=()2+(a)2a2,OD2=(OE+DE)2=(a+2a)2a2,
∴AO2+AD2=OD2,
∴∠OAD=90°,
∴DA与⊙O相切;
(3)连接AF.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFD=∠BAD=90°.
∵∠ADF=∠BDA,
∴△AFD∽△BAD,
∴,
即DFBD=AD2①.
又∵∠AED=∠OAD=90°,∠ADE=∠ODA,
∴△AED∽△OAD,
∴,
即ODDE=AD2②,
由①②可得DFBD=ODDE,
即.
又∵∠EDF=∠BDO,
∴△EDF∽△BDO.
∵BC=1,
∴AB=AD、OD、ED=2、BD、OB,
∴,
即,
解得:EF.
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【题目】如图,已知二次函数的图象经过点A(4,0),与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.
(1)求a的值和直线AB的解析式;
(2)过点D作DF⊥AB于点F,设△ACE,△DEF的面积分别为S1,S2,若S1=4S2,求m的值;
(3)点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点G是线段AB上的动点,当四边形DEGH是平行四边形,且周长取最大值时,求点G的坐标.
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【题目】如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是边AB的中点,BE⊥CD,垂足为点E.已知AC=15,cosA=.
(1)求线段CD的长;
(2)求sin∠DBE的值.
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【题目】将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B1A1C=30°)按图①的方式放置,固定三角板A1B1C,然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图②所示的位置,AB与A1C交于点E,AC与A1B1交于点F,AB与A1B1交于点O.
(1)求证:△BCE≌△B1CF.
(2)当旋转角等于30°时,AB与A1B1垂直吗?请说明理由.
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【题目】如图,点A,B,C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5(其中﹣<a<0)上,AB∥x轴,∠ABC=135°,且AB=4.
(1)填空:抛物线的顶点坐标为 (用含m的代数式表示);
(2)求△ABC的面积(用含a的代数式表示);
(3)若△ABC的面积为2,当2m﹣5≤x≤2m﹣2时,y的最大值为2,求m的值.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2cm,∠ADB=30°.P,Q两点分别从A,B同时出发,点P沿折线AB﹣BC运动,在AB上的速度是2cm/s,在BC上的速度是2cm/s;点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动,过点P作PN⊥AD,垂足为点N.连接PQ,以PQ,PN为邻边作PQMN.设运动的时间为x(s),PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y(cm2)
(1)当PQ⊥AB时,x等于多少;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(3)直线AM将矩形ABCD的面积分成1:3两部分时,直接写出x的值.
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【题目】如图,平行四边形ABCD的周长为28,对角线AC、BD相交于点O,点E是CD的中点,BD=12,则△DOE的周长为( )
A.28B.12C.13D.17
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