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1.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DF⊥AC于点F.
(1)试说明DF是⊙O的切线;
(2)若AC=3AE=6,求tanC.

分析 (1)连接OD,根据等边对等角性质和平行线的判定和性质证得OD⊥DF,从而证得DF是⊙O的切线;
(2)根据圆周角定理、勾股定理得出BE=2$\sqrt{2}$AE,CE=4AE,然后根据勾股定理求得BE=2$\sqrt{2}$AE,根据三角函数的定义即可得到结论.

解答 (1)证明:连接OD,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∴∠ODB=∠C,
∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,
∴OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线;

(2)解:连接BE,AD,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∵AB=AC,AC=3AE=6,
∴AB=3AE=6,AE=2,
∴CE=4AE=8,
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$,
∴tanC=$\frac{BE}{CE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题考查了等腰三角形的性质,平行线的判定和性质,切线的判定,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质等,是一道综合题,难度中等.

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