Question

17．如图在△ABC中，AB=BC=10，AC=$4\sqrt{5}$，D为边AB上的一动点（D与A、B不重合），过D作DE∥BC交AC于E，并以DE为边向BC一侧作正方形DEFG，设AD=x，
（1）当边FG落在BC边上时，求x的值；
（2）当正方形的边FG在△ABC外部时，如图2，DG、EF分别交边BC于M、N，若${S_△}_{BDM}+{S_△}_{ECN}=\frac{1}{5}{S_△}_{ABC}$，求x的值；
（3）点D在运动过程中，若存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上的情况，请直接写出此时AD的值5或$\frac{80}{13}$或$\frac{50}{13}$．

Answer 1

分析 （1）首先设BC边上的高AM交DE天点P．由在△ABC中，AB=AC=，BC=4$\sqrt{5}$，即可求得BM与AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形高的比等于相似比，即可求得答案；
（2）首先根据三角函数的定义求得正方形DEFG的边长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，然后分别从当FG在△ABC的内部时与当FG在△ABC的外部时去分析求解即可求得答案．
（3）①当AD=5时，G、B在以D为圆心（DB=DG为半径）的圆上；理由如下：当G、B在以D为圆心的圆上时，DB=DG=DE=AD，得到D为AB的中点，即可得到结果；②当AD=时，D、G在以B为圆心（BD=BG为半径）的圆上；理由如下：当BD=BG时，M为DG的中点，于是得到DN=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{1}{2}$x就看得到AD=$\frac{80}{13}$；③当AD=$\frac{50}{13}$时，D、B在以G为圆心（GD=GB为径）的圆上；理由如下：根据题意得：GD=GB=DE=x，作GQ⊥AB于Q，如图4所示：则Q为BD的中点，DQ=$\frac{1}{2}$BD=5-$\frac{x}{2}$，△DGQ≌△ADP，根据DQ=AP，列方程即可得到结果．

解答 解：（1）作AM⊥BC于M，作BH⊥AC于H，DE如图1所示：$\frac{DE}{10}$=$\frac{x}{10}$
∵AB=BC=10，AC=45，BH⊥AC，
∴AH=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$，
∴BH²=AB²-AH²=10²-（2$\sqrt{5}$）²=80，
∴BH=4$\sqrt{5}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AM=AC•BH，
∴AM=$\frac{AC•BH}{BC}$=$\frac{4\sqrt{5}•4\sqrt{5}}{10}$=8，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，∴$\frac{DE}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{DE}{10}$=$\frac{x}{10}$，
∴DE=x，
∴正方形DEFG的面积为DE²=x²；
当FG落在BC上时，如图2所示：设DE交AM于P，
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，即：$\frac{x}{10}$=$\frac{8-x}{8}$，
解得：x=$\frac{40}{9}$；

（2）由（1）得，DE=x，
当FG在△ABC的外部时，设DG交BC于点N；如图3所示：
在Rt△DBN中，DN=8-$\frac{4}{5}$x，
∴S_矩形DNKE=DE•DN=x•（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x，
∵$\frac{{S}_{△ADE}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{AD}{AB}$）²=$\frac{{x}^{2}}{10}$，
∴S_△ADE=$\frac{{x}^{2}}{100}$S_△ABC=$\frac{{x}^{2}}{100}$×$\frac{1}{2}$×8×10=$\frac{2{x}^{2}}{5}$，
∵${S_△}_{BDM}+{S_△}_{ECN}=\frac{1}{5}{S_△}_{ABC}$=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}×10×8$=8，
∴S_矩形DNKE=DE•DN=x•（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}$x²+8x=$\frac{1}{2}$×10×8-8-$\frac{2{x}^{2}}{5}$，
解得x=10$+2\sqrt{5}$（不合题意舍去），x=10-2$\sqrt{5}$；

（3）①当AD=5时，G、B在以D为圆心（DB=DG为半径）的圆上；理由如下：
当G、B在以D为圆心的圆上时，DB=DG=DE=AD，
∴D为AB的中点，
∴AD=5；
②当AD=$\frac{80}{13}$时，D、G在以B为圆心（BD=BG为半径）的圆上；理由如下：
当BD=BG时，M为DG的中点，
∴DN=$\frac{1}{2}$DG=$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{1}{2}$x=8-$\frac{4}{5}$x，
解得：x=$\frac{80}{13}$，即AD=$\frac{80}{13}$；
③当AD=$\frac{50}{13}$时，D、B在以G为圆心（GD=GB为半径）的圆上；理由如下：
根据题意得：GD=GB=DE=x，作GQ⊥AB于Q，如图4所示：
则Q为BD的中点，DQ=$\frac{1}{2}$BD=5-$\frac{x}{2}$，△DGQ≌△ADP，
∴DQ=AP，即5-$\frac{x}{2}$=$\frac{4}{5}$x，
解得：x=$\frac{50}{13}$；即AD=$\frac{50}{13}$．
综上所述：若存在D、G、B三点中的两点落在以第三点为圆心的圆上时，AD的值为：5或$\frac{80}{13}$或$\frac{50}{13}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及面积的计算；本题难度较大，解题的关键是画出图形，注意准确作出辅助线，掌握数形结合思想的运用．