Question

10．如图，A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接CD、AE交于点P，并分别交BE、BD于N、M，连接MN，下列结论中：①AE=CD；②AM=DP；③MN∥AC； ④若AB=2BC，连接DE，则DE⊥BE；⑤BP平分∠APC．正确的结论有：①③④⑤（填写出所有正确的序号）

Answer 1

分析 根据等边三角形的性质得到AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，证得△ABE≌△DBC，由全等三角形的性质得到AE=CD，故①正确；由全等三角形的性质得到∠BAP=∠BDC，由A、B、C在一条直线上，求得∠DBN=180°-∠ABD-∠CBE=60°，推出△ABM≌△DBN，得到AM=DN，BM=BN，由DN＞PD，得到AM＞PD，故②错误；推出△BMN是等边三角形，得到∠MNB=60°，根据平行线的性质即可得到MN∥AC，故③正确；取BD的中点O，连接EO，DE，由AB=2BC，得到BD=2BE，证得△BEM是等边三角形，根据直角三角形的判定得到∠BED=90°，得到DE⊥BE；故④正确；过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，通过△ABH≌△DBG，得到BH=BG，根据角平分线的性质得到BP平分∠APC；故⑤正确；当A、B、C在一条直线上时，∠ABM=∠DBN=60°，∠DBE≠60°，则∠ABM≠∠DBN，于是得到△ABM与△DBN不全等，推出AM≠DN，故⑥错误．

解答 解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，
∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60°，
∴∠ABE=∠CBD，
在△ABE与△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC，
∴AE=CD，故①正确；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAP=∠BDC，
∵A、B、C在一条直线上，
∴∠DBN=180°-∠ABD-∠CBE=60°，
∴∠ABD=∠DBN，
在△ABM与△BDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAB=∠BDN}\\{AB=BD}\\{∠ABD=∠DBN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△DBN，
∴AM=DN，BM=BN，
∵DN＞PD，
∴AM＞PD，故②错误；
∵BM=BN，∠MBN=60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴∠MNB=60°，
∴∠MNB=∠NBC，
∴MN∥AC，故③正确；
取BD的中点O，连接EO，DE，
∵AB=2BC，
∴BD=2BE，
∴BE=BM=DM，
∵∠MBE=60°，
∴△BEM是等边三角形，
∴EM=BM=DM，
∴∠BED=90°，
∴DE⊥BE；故④正确；
过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，
∴∠AHB=∠DGB=90°，
在△ABH与△DBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠BDG}\\{∠AHB=∠DGB}\\{AB=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△DBG，
∴BH=BG，
∴BP平分∠APC；故⑤正确；
∵当A、B、C在一条直线上时，∠ABM=∠DBN=60°，
∠DBE≠60°，则∠ABM≠∠DBN，
∴△ABM与△DBN不全等，
∴AM≠DN，故⑥错误．
故答案为：①③④⑤．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形．