Question

17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AC=6，BD=8．动点E从点B出发，沿着B-A-D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止．点F是点E关于BD的对称点，EF交BD于点P，若BP=x，△OEF的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 先根据四边形ABCD是菱形，得到AB=BC=CD=DA，OA=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，再分两种情况讨论：①当BP≤4时，依据△FEB∽△CBA，得出EF=$\frac{3}{2}$x，
OP=4-x，进而得到△OEF的面积y=$\frac{1}{2}$EF•OP=-$\frac{3}{4}$x²+3x，由此可得y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；②当4＜BP＜8时，同样得出△OEF的面积y=$\frac{1}{2}$EF•OP=-$\frac{3}{4}$x²+9x-24，进而得出y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，开口向下，且过（4，0）和（8，0）．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，OA=$\frac{1}{2}$AC=3，OB=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，
①当BP≤4时，
∵点F是点E关于BD的对称点，
∴EF⊥BD，
∴EF∥AC，
∴△FEB∽△CBA，
∴$\frac{EF}{AC}$=$\frac{BP}{BO}$，即$\frac{EF}{6}$=$\frac{x}{4}$，
∴EF=$\frac{3}{2}$x，
∵OP=4-x，
∴△OEF的面积y=$\frac{1}{2}$EF•OP=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$x（4-x）=-$\frac{3}{4}$x²+3x，
∴y与x之间的函数图象是抛物线，开口向下，过（0，0）和（4，0）；
②当4＜BP＜8时，
同理可得，EF=12-$\frac{3}{2}$x，OP=x-4，
∴△OEF的面积y=$\frac{1}{2}$EF•OP=$\frac{1}{2}$×（12-$\frac{3}{2}$x）（x-4）=-$\frac{3}{4}$x²+9x-24，
∴y与x之间的函数图象的形状与①中的相同，开口向下，且过（4，0）和（8，0）；
故选：D．

点评 本题考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算以及二次函数的运用，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列出比例式得出EF的表达式，根据三角形面积计算公式得到二次函数解析式．