Question

如图，直线x=﹣4与x轴交于点E，一开口向上的抛物线过原点交线段OE于点A，交直线x=﹣4于点B，过B且平行于x轴的直线与抛物线交于点C，直线OC交直线AB于D，且AD：BD=1：3．

（1）求点A的坐标；
（2）若△OBC是等腰三角形，求此抛物线的函数关系式．

Answer 1

（1）（﹣2，0）；（2）y=x²+x或y=x²+x．

试题分析：（1）过点D作DF⊥x轴于点F，由抛物线的对称性可知OF=AF，则2AF+AE=4①，由DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，根据相似三角形对应边成比例得出=，即AE=2AF②，①与②联立组成二元一次方程组，解出AE=2，AF=1，进而得到点A的坐标；
（2）先由抛物线过原点（0，0），设此抛物线的解析式为y=ax²+bx，再根据抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），求出对称轴为直线x=﹣1，则由B点横坐标为﹣4得出C点横坐标为2，BC=6．再由OB＞OC，可知当△OBC是等腰三角形时，可分两种情况讨论：①当OB=BC时，设B（﹣4，y₁），列出方程，解方程求出y₁的值，将A，B两点坐标代入y=ax²+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式；②当OC=BC时，设C（2，y₂），列出方程，解方程求出y₂的值，将A，C两点坐标代入y=ax²+bx，运用待定系数法求出此抛物线的解析式．
试题解析：（1）如图，过点D作DF⊥x轴于点F．
由题意，可知OF=AF，则2AF+AE=4①．
∵DF∥BE，
∴△ADF∽△ABE，
∴=，即AE=2AF②，
①与②联立，解得AE=2，AF=1，
∴点A的坐标为（﹣2，0）；
（2）∵抛物线过原点（0，0），
∴可设此抛物线的解析式为y=ax²+bx．
∵抛物线过原点（0，0）和A点（﹣2，0），
∴对称轴为直线x==﹣1，
∵B、C两点关于直线x=﹣1对称，B点横坐标为﹣4，
∴C点横坐标为2，
∴BC=2﹣（﹣4）=6．
∵抛物线开口向上，
∴∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，
∴当△OBC是等腰三角形时，分两种情况讨论：
①当OB=BC时，设B（﹣4，y₁），
则16+=36，解得y₁=±2（负值舍去）．
将A（﹣2，0），B（﹣4，2）代入y=ax²+bx，
得，解得．
∴此抛物线的解析式为y=x²+x；
②当OC=BC时，设C（2，y₂），
则4+=36，解得y₂=±4（负值舍去）．
将A（﹣2，0），C（2，4）代入y=ax²+bx，
得，解得．
∴此抛物线的解析式为y=x²+x．
综上可知，若△OBC是等腰三角形，此抛物线的函数关系式为y=x²+x或y=x²+x．