Question

7．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于E，AC平分∠DAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，CD=4，求AE的长和tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由AC平分∠DAE得∠1=∠2，加上∠2=∠3，则∠1=∠3，根据平行线的判定得到OC∥AE，由于AE⊥CD，于是可得OC⊥CD，然后根据切线得判断定理可判断DE是⊙O的切线；
（2）先证明△DBC∽△DCA，利用相似比得到$\frac{4}{6+BD}$=$\frac{BD}{4}$=$\frac{BC}{AC}$，则可计算出BD=2，$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，在Rt△ACB中，利用正切的定义可得到tan∠CAB=$\frac{1}{2}$；接着利用OC∥AE证明△DOC∽△DAE，利用相似比可计算出AE．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵AC平分∠DAE，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴OC∥AE，
∵AE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠3+∠OCB=90°，
∵OC⊥CD，
∴∠OCB+∠4=90°，
∴∠3=∠4，
∴∠2=∠4，
而∠BDC=∠CDA，
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BC}{AC}$，即$\frac{4}{6+BD}$=$\frac{BD}{4}$=$\frac{BC}{AC}$，
整理得BD²+6BD-16=0，解得BD=2或BD=-8（舍去），
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△ACB中，tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∵OC∥AE，
∴△DOC∽△DAE，
∴$\frac{OC}{AE}$=$\frac{OD}{AD}$，即$\frac{3}{AE}$=$\frac{5}{8}$，
∴AE=$\frac{24}{5}$，
即AE的长为$\frac{24}{5}$和tan∠CAD的值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．