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7.如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,AB是⊙O的直径,D是AB延长线上的一点,AE⊥DC交DC的延长线于E,AC平分∠DAE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若AB=6,CD=4,求AE的长和tan∠CAD的值.

分析 (1)连结OC,如图,由AC平分∠DAE得∠1=∠2,加上∠2=∠3,则∠1=∠3,根据平行线的判定得到OC∥AE,由于AE⊥CD,于是可得OC⊥CD,然后根据切线得判断定理可判断DE是⊙O的切线;
(2)先证明△DBC∽△DCA,利用相似比得到$\frac{4}{6+BD}$=$\frac{BD}{4}$=$\frac{BC}{AC}$,则可计算出BD=2,$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$,在Rt△ACB中,利用正切的定义可得到tan∠CAB=$\frac{1}{2}$;接着利用OC∥AE证明△DOC∽△DAE,利用相似比可计算出AE.

解答 (1)证明:连结OC,如图,
∵AC平分∠DAE,
∴∠1=∠2,
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠3,
∴OC∥AE,
∵AE⊥CD,
∴OC⊥CD,
∴DE是⊙O的切线;
(2)解:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,即∠3+∠OCB=90°,
∵OC⊥CD,
∴∠OCB+∠4=90°,
∴∠3=∠4,
∴∠2=∠4,
而∠BDC=∠CDA,
∴△DBC∽△DCA,
∴$\frac{CD}{AD}$=$\frac{BD}{CD}$=$\frac{BC}{AC}$,即$\frac{4}{6+BD}$=$\frac{BD}{4}$=$\frac{BC}{AC}$,
整理得BD2+6BD-16=0,解得BD=2或BD=-8(舍去),
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$,
在Rt△ACB中,tan∠CAB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$,
∵OC∥AE,
∴△DOC∽△DAE,
∴$\frac{OC}{AE}$=$\frac{OD}{AD}$,即$\frac{3}{AE}$=$\frac{5}{8}$,
∴AE=$\frac{24}{5}$,
即AE的长为$\frac{24}{5}$和tan∠CAD的值为$\frac{1}{2}$.

点评 本题考查了切线的判定:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.也考查了相似三角形的判定与性质.

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