Question

3．如图，P为⊙O外一点，BC是⊙O的直径，CA为⊙O的一条弦，连接PA、PB，∠PBA=∠C．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）连接OP，OP∥AC，且OP=10，BC=2$\sqrt{5}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OB，由圆周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，证出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出结论；
（2）证明△ABC∽△PBO，得出对应边成比例，即可求出BC的长．

解答 （1）证明：连接OB，如图所示：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠C+∠BAC=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA，
∵∠PBA=∠C，
∴∠PBA+∠OBA=90°，
即PB⊥OB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为2$\sqrt{5}$，
∴OB=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∵OP∥BC，
∴∠C=∠BOP，
又∵∠ABC=∠PBO=90°，
∴△ABC∽△PBO，
∴$\frac{BC}{OB}$=$\frac{AC}{OP}$，
即$\frac{BC}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{8}$，
∴BC=2．

点评 本题考查了切线的判定、圆周角定理、平行线的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理、切线的判定是解决问题的关键．