Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，垂足为H．
（1）求证：AC²=AH•AB．
（2）当AB旋转到AE的位置时，弦AE的延长线与弦CD的延长线交于点F，此时是否仍有（1）的结论成立（即：AC²=AF•AE）？请说明理由．
（3）过点F作⊙O的切线FP，切点为P，连接AP交CF于G，已知，AE：EF=3：4，求FG的长．

Answer 1

解：（1）证明：∵AB是直径，且CD⊥AB，∠ACB=∠AHC，
∴△ABC∽△ACH，
∴，即AC²=AH•AB．

（2）上面的结论成立．
连接CE；
∵直径AB⊥CD，
∴，即∠CEA=∠ACF，
又∵∠CAE=∠FAC，
∴△ACF∽△AEC，
∴AC²=AE•AF．

（3）连接OP，则OP⊥PF；
∵∠GPF=90°-∠OPA，∠AGH=90°-∠OAP，
且∠OPA=∠OAP，∠AGH=∠PGF，
∴∠GPF=∠PGF，即FP=FG；
设AE=3x，EF=4x；
∵AC²=AF•AE，
∴，∴；
由切割线定理得：FP²=EF•AF，∴FP²=4x•7x=28x²=36，
∴FP=6，
故FG=FP=6．
分析：（1）在Rt△ABC中，CH⊥AB，易证得Rt△ACH∽Rt△ABC，根据相似三角形求得的比例线段，即可得到所求的结论．
（2）连接CE，证△ACE∽△AFC即可；由于AB⊥CD，由垂径定理知A是弧CD的中点，即可由圆周角定理得到∠CEA=∠ACF，再加上公共角∠CAF，即可证得两个三角形相似，由此得证．
（3）连接OP，由切线的性质知∠OPF=90°，那么∠GPF、∠PGF（即∠AGH）为等角的余角，由此可得∠PGF=∠GPF，即PF=FG，因此只需求得PF的长即可，由（2）的结论可求得AE、AF、EF的值，进而可由切割线定理得到PF的值，由此得解．
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，还涉及到圆周角定理、切割线定理、切线的性质等知识的综合应用，难度适中．