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    10．如图，抛物线y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c与x轴交于点A（-2，0），交y轴于点B（0，-$\frac{5}{2}$），直线y=kx+$\frac{3}{2}$过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D．
    （1）填空：b=-$\frac{3}{4}$，c=-$\frac{5}{2}$，k=$\frac{3}{4}$；
    （2）设点P是直线AD下方的抛物线上一动点（不同于A、D两点），过点P作y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E，探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
    （3）在（2）的条件下，作PN⊥AD，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．

    分析 （1）利用待定系数法即可解决问题；
    （2）设P的坐标是（x，$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），则M的坐标是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$），则PM=（ $\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）-（ $\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4，由EC=PM得到-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=6，解方程即可；
    （3）通过相似三角形△PMN∽△CDE的性质推知：由 $\frac{△PMN的周长}{△CEE的周长}$=$\frac{PM}{DC}$ 构建二次函数即可解决问题．

    解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c经过点A（-2，0）和B（0，-$\frac{5}{2}$）
    ∴由此得 $\left\{\begin{array}{l}{1-2b+c=0}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{3}{4}}\\{c=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
    ∴抛物线的解析式是y=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$；
    ∵直线y=kx+$\frac{3}{2}$经过点A（-2，0）
    ∴-2k+$\frac{3}{2}$=0，
    解得：k=$\frac{3}{4}$，
    ∴直线的解析式是 y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
    故答案为-$\frac{3}{4}$、-$\frac{5}{2}$、$\frac{3}{4}$；

    （2）可求D的坐标是（8，7 $\frac{1}{2}$），点C的坐标是（0，$\frac{3}{2}$），
    ∴CE=6，
    设P的坐标是（x，$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$），则M的坐标是（x，$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）
    因为点P在直线AD的下方，
    此时PM=（ $\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$）-（ $\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{4}$x-$\frac{5}{2}$）=-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4，
    由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，
    即-$\frac{1}{4}$x2+$\frac{3}{2}$x+4=6
    解这个方程得：x1=2，x2=4，
    当x=2时，y=-3，
    当x=4时，y=-$\frac{3}{2}$，
    因此，直线AD下方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，
    点P的坐标是（2，-3）和（4，-$\frac{3}{2}$）；  

    （3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6  由勾股定理得：DC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}$=10
    ∴△CDE的周长是24，
    ∵PM∥y轴，∴∠PMN=∠DCE，
    ∵∠PNM=∠DEC=90°，∴△PMN∽△CDE，
    ∴$\frac{△PMN的周长}{△CDE的周长}$=$\frac{PM}{DC}$，即   $\frac{m}{24}$=$\frac{-\frac{1}{4}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+4}{10}$，
    化简整理得：m与x的函数关系式是：m=-$\frac{3}{5}$x2+$\frac{18}{5}$x+$\frac{48}{5}$，
    m=-$\frac{3}{5}$ （x-3）2+15，
    ∵-$\frac{3}{5}$＜0，
    ∴m有最大值，当x=3时，m的最大值是15．

    点评 本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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    （2）若AB=$\frac{3}{4}$，CD=$\frac{3}{2}$，m-n=6，求b的值．

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