Question

某街道两旁正在安装漂亮的路灯，经查看路灯图纸，小红发现该路灯的设计可以看作是“相切两圆”的一部分，部分数据如图所示：⊙O₁、⊙O₂相切于点C，CD切⊙O₁于点C，A、B为路灯灯泡．已知∠AO₁O₂=∠BO₂O₁=60°．A、B、C三点距地面MN的距离分别为150

3

cm，180

3

cm，100

3

cm，请根据以上图文信息，求：
（1）⊙O₁、⊙O₂的半径分别多少cm？
（2）把A、B两个灯泡看作两个点，求线段AB的长．

Answer 1

分析：（1）首先过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，由A、B、C三点距地面MN的距离分别为150

3

cm，180

3

cm，100

3

cm可求得AP的长，然后由三角函数的性质，求得O₁A的长，同理可求得⊙O₂的半径；
（2）首先过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，过点B作BQ⊥MN交O₁O₂于点Q，过点A作AH⊥BQ于点H，可求得AH与BH的长，然后由勾股定理求得线段AB的长．

解答：解：（1）过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，
∵A、B、C三点距地面MN的距离分别为150

3

cm，180

3

cm，100

3

cm
∴AP=150

3

-100

3

=50

3

（cm），
∴在Rt△O₁AP中，O₁A=

AP

sin∠AO1O2

=

50 3

sin60°

=100（cm），
同理：O₂B=

80 3

sin60°

=160（cm），
∴⊙O₁、⊙O₂的半径分别为100cm和160cm．

（2）如图，过点A作AP⊥MN交O₁O₂于点P，过点B作BQ⊥MN交O₁O₂于点Q，过点A作AH⊥BQ于点H，
则四边形APQH是矩形，
∵O₁P=

1

2

O₁A，O₂Q=

1

2

O₂B，
∴AH=PQ=

1

2

（100+160）=130（cm），BH=180

3

-150

3

=30

3

（cm），
∴AB=

AH2+BH2

=

1302+(30 3 )2

=140（cm）．
即线段AB的长为140cm．

点评：此题考查了相切两圆的性质、勾股定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．