分析 (1)只要证明$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$,根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断.
(2)首先证明BH⊥AC,根据$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BH求出BH,再根据勾股定理即可解决问题.
解答 (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=1,BC=AD=2,∠ABC=∠BAD=90°,
∵ED=3AE,
∴AE=$\frac{1}{2}$,ED=$\frac{3}{2}$,
∵$\frac{AB}{AE}$=2,$\frac{BC}{AB}$=2,
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{BC}{AB}$,
∵∠ABC=∠BAE=90°,
∴△ABC∽△EAB.
(2)解:∵△ABC∽△EAB,
∴∠ACB=∠ABE,
∵∠ABE+∠CBH=90°,
∴∠ACB+∠CBE=90°,
∴∠BHC=90°,
∴BH⊥AC,
在RT△ACB中,∵∠ABC=90°,AB=1,BC=2,
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$,
∵$\frac{1}{2}$•AB•BC=$\frac{1}{2}$•AC•BH,
∴BH=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
∴CH=$\sqrt{C{B}^{2}-B{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-(\frac{2\sqrt{5}}{5})^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$.
点评 本题考查相似三角形的判断和性质、矩形的性质等知识,解题的关键是利用两边成比例夹角相等证明两三角形相似,发现BH⊥AC这个突破口,属于中考常考题型.
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x | … | -3 | -$\frac{5}{2}$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\frac{5}{2}$ | 3 | … |
y | … | 3 | $\frac{5}{4}$ | m | -1 | 0 | -1 | 0 | $\frac{5}{4}$ | 3 | … |
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A. | 3 | B. | $\sqrt{2}$ | C. | $\frac{22}{7}$ | D. | 0.$\stackrel{••}{67}$ |
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