Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c的顶点P的坐标为（1，-），交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，-）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．
①则点D的坐标为________；
②试判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在直线AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式是y=a（x-1）²-，
把C（0，-）代入得：a=，
∴y=，
答：抛物线的表达式是y=（x-1）²-．

（2）①解：y=（x-1）²-=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
A（-1，0），B（3，0），
∴E（1，0），
∴D（2，），
故答案为：D（2，）．

②四边形ADBC是矩形．
理由：四边形ADBC是平行四边形，且∠ACB=90°，

（3）答：存在．
解：作出点B关于直线AC的对称点Bˊ，连接BˊD与直线AC交于点F．
则点F是使△FBD周长最小的点．
∵∠BˊCA=∠DAF=90°，∠BˊFC=∠DFA，
∴△BˊFC∽△DFA．
∴F是线段AC的中点，求得F（，），
答：存在，F的坐标是（-，-）．
分析：（1）设抛物线的解析式是y=a（x-1）²-，把C（0，-）代入求出a=即可；
（2）y=（x-1）²-=0，求出A、B的坐标，得到E（1，0），即可推出D的坐标，根据矩形的判定即可推出答案；
（3）作出点B关于直线AC的对称点Bˊ，连接BˊD与直线AC交于点F．则点F是使△FBD周长最小的点．根据△BˊFC∽△DFA即可求出答案．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，中心对称图形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．