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18.如图,直线y=-$\frac{2}{3}$x+m分别交x轴、y轴于A、B两点,已知点C(6,0).
(1)用含m的代数式表示点A的横坐标$\frac{3}{2}$m;
(2)若直线AB上存在点P,使∠OPC=90°,则m的取值范围是2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$.

分析 (1)令y=0,则0=-$\frac{2}{3}$x+m,解得x=$\frac{3}{2}$m,即可求得点A的横坐标为$\frac{3}{2}$m;
(2)要使∠OPC=90°,则直线AB必经过以OC为直径的圆,证△AOB∽△APM,得出$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$,即可求出OA的值,进一步得出m的取值范围.

解答 解:(1)令y=0,则0=-$\frac{2}{3}$x+m,
解得x=$\frac{3}{2}$m,
∴点A的横坐标为$\frac{3}{2}$m;
故答案为$\frac{3}{2}$m;

(2)要使∠OPC=90°,则直线AB必经过以OC为直径的圆,
如图直线AB切圆于P,∵点C(6,0),
∴OC=6,
∴OM=PM=3,
∵直线y=-$\frac{2}{3}$x+m,
∴$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$,
∵∠OAB=∠PAM,∠AOB=∠APM=90°,
∴△AOB∽△APM,
∴$\frac{PM}{PA}$=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{2}{3}$,
∴PA=$\frac{9}{2}$,
∴MA=$\sqrt{{3}^{2}+(\frac{9}{2})^{2}}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$,
∴OA=3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$或3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$,
∵点A的横坐标为$\frac{3}{2}$m;
∴$\frac{3}{2}$m=3+$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$或3-$\frac{3}{2}$$\sqrt{13}$,
∴m=2+$\sqrt{13}$或2-$\sqrt{13}$,
∴m的取值范围是2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$.
故答案为2-$\sqrt{13}$≤m≤2+$\sqrt{13}$.

点评 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征,三角形相似的判定和性质,勾股定理等知识点的理解和掌握,此题是一个综合性比较强的题目,有一定的难度.

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